1. Организационный момент.

2. Постановка целей урока.

Сегодня у нас обобщающий урок по теме: «Системы счисления».

Данная тема изучается вами в 10 классе, а задания по данной теме встречаются в материалах ЕГЭ. Сегодня мы систематизируем знания по данной теме, научимся применять полученные знания для решения комплекса задач, включаемых в материалы ЕГЭ.

3. Повторение некоторых рациональных способов перевода чисел из одной с.с. в другую

1. Сколько единиц используется в двоичной записи числа 194?
   Ответ: 3

(некоторые учащиеся используют стандартный прием: алгоритм «Деление уголком», поэтому стараюсь вызвать к доске именно такого ребенка)

один из учеников решает у доски, остальные в тетради.

Возможны варианты решения:

1вариант решения

Для выполнения этого задания мы должны выполнить перевод 194₁₀ → Х₂

2. Согласны ли вы с тем, что деление уголком слишком громоздкая запись?
   Оказывается, перевод целого числа из 10 с.с. в 2 с.с. можно выполнить более рациональным методом, используя целые степени числа 2.

2 вариант решения

Целые степени числа2: 128 64 32 16 8 4 2 1

1 1 0 0 0 0 1 0

194-128=66

66-64=2

194₁₀ = 11000010₂

Ответ: 3

3. А теперь выполните перевод 10100001₂Х_10, используя целые степени числа 2.

Ответ: 161₁₀

один из учеников решает у доски, остальные в тетради.

Целые степени числа2: 128 64 32 16 8 4 2 1

1 0 1 0 0 0 0 1

128+32+1=161₁₀

Ответ: 161

4. веселая викторина – устная работа

1. Сколько глаз у пиявки? (подсказка 1010₂)

2. Сколько вершков в аршине (подсказка: 10000₂)

3. Сколько лет спала Спящая красавица из сказки Шарля Перро? (подсказка: 1100100₂)

4. Сапоги какого размера носил дядя Степа?(подсказка: 101101₂)

5. Сколько лет было Красной шапочке? (подсказка 1000₂)

Ответы: 10, 16, 100, 45, 8

Учащиеся записывают в тетради ответы на вопросы

5. Выполните перевод:

735₈Х₂Х₁₆

Ответ: 735₈111011101₂1DD₁₆

один из учеников решает у доски, остальные в тетради.

Чтобы перевести число из 8с.с. в 2с.с. надо каждую 8-ую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой:

735₈Х₂

4 2 1 735₈=111011101₂

7 1 1 1

3 0 1 1

5 1 0 1

Чтобы перевести число из 2с.с. в 16с.с. надо разбить это число влево и вправо от запятой на двоичные тетрады и каждую такую тетраду заменить эквивалентной ей 16-ой цифрой:

_{1 8 4 2 1 8 4 2 1}

111011101₂=1DD₁₆

1 D D

(8+4+1=13=D)

5. Выполнить перевод 2F4₁₆Х₂Х₈

Ответ: 2F4₁₆1011110100₂1364₈

один из учеников решает у доски, остальные в тетради.

Чтобы перевести число из 16с.с. в 2с.с. надо каждую 16-ую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой:

2F4₁₆X₂

8 4 2 1 2F4₁₆=10111110100₂

2 0 0 1 0

F=15 1 1 1 1

4 0 1 0 0

Чтобы перевести число из 2с.с. в 8с.с. надо разбить это число влево и вправо от запятой на двоичные триады и каждую такую триаду заменить эквивалентной ей 8-ой цифрой:

4. Объяснение нового материала

Теперь, когда учащиеся вспомнили основные алгоритмы перевода чисел из одной с.с. в другую, приступаем к разбору заданий ЕГЭ

А-1. Дано число а=92₁₆ и число в=224₈. Какое из чисел с, записанных в двоичной системе счисления удовлетворяет условию: a<c<b?

1. 10010011

2. 10001110

3. 10001010

4. 10001100

А-2. Чему равна сумма чисел 43₈ и 56₁₆?

1. 121₈

2. 171₈

3. 69₁₆

4. 1000001₂

А-3. Вычислите значение суммы в 10с.с.: 10₂+10₈+10₁₆=?

1. 30₁₀

2. 26₁₀

3. 36₁₀

4. 20₁₀

Решение:

1. 10₂Х₁₀

₂₁

10₂=2₁₀

2. 10₈Х₁₀

₁₀

10₈=1*8¹+0*8⁰=8₁₀

3. 10₁₆Х₁₀

₁₀

10₁₆=1*16¹+0*16⁰=16₁₀

4. 2₁₀+8₁₀+16₁₀=26₁₀

Ответ: А-3-2

В-1. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления в которых запись числа 16 оканчивается на 1.

Дано: 16₁₀=?1_х

Найти: Х

1 вариант решения:

Для того, чтобы целое число 16 перевести из 10с.с. его надо разделить наХ — основание новой системы счисления. Первый остаток от деления даст нам последнюю цифру нового числа в новой с.с. (необходимо по условию получить цифру 1). Нам надо проверить какое Х из промежутка от 2 до 16 удовлетворяет нашему условию.

16 mod 2=0

16 mod 3 = 1

16 mod 4 = 0

16 mod 5 = 1

16 mod 6 = 4

16 mod 7 = 2

16 mod 8 = 0

16 mod 9 = 7

16 mod 10 = 6

16 mod 11 = 5

16 mod 12 = 4

16 mod 13 = 3

16 mod 14 = 2

16 mod 15 = 1

16 mod 16 = 0

Ответ:3,5,15

2 вариант решения

Для того, чтобы целое число 16 перевести из 10с.с. его надо разделить наХ — основание новой системы счисления. Первый остаток от деления даст нам последнюю цифру нового числа в новой с.с. (необходимо по условию получить цифру 1).

Решаем уравнение:

16 mod Х = 1

x*d+1=16

x*d=15

x=15/d (т.к. мы ищем основание с.с., то Х может быть только целым числом из диапазона от 1 до 16, следовательно d – это делители числа 15, т.е. d=1,3,5,15)

тогда Х=3,5,15,1, х=1 не удовлетворяет решению задачи.

Ответ х=3,5,15

В-2. Укажите через запятую в порядке возрастания все числа, не превосходящие 25, запись которых в 2с.с. оканчивается на 101. Числа в ответе указать в 10с.с.

Дано: Х=?101₂

Найти: Х (где 2<X<25)

1 вариант решения

Переведем все числа от 2 до 25 в 2с.с. и посмотрим, какие из них оканчиваются на 101.

2₁₀=10₂

3₁₀=11₂

4₁₀=100₂

5₁₀=101₂

6₁₀=110₂

7₁₀=111₂

8₁₀=1000₂

9₁₀=1001₂

10₁₀=1010₂

11₁₀=1011₂

12₁₀=1100₂

13₁₀=1101₂

14₁₀=1110₂

15₁₀=1111₂

16₁₀=10000₂

17₁₀=10001₂

18₁₀=10010₂

19₁₀=10011₂

20₁₀=10100₂

21₁₀=10101₂

22₁₀=10110₂

23₁₀=10111₂

24₁₀=11000₂

25₁₀=11001₂

Ответ: 5,13,21

2 вариант решения

Для того, чтобы перевести число ?101₂ в10с.с. его надо разложить в степенной ряд и подсчитать результат, возможны случаи:

101₂=2²+2⁰=5₁₀

1101₂=2³+2²+2⁰=13₁₀

10101₂=2⁴+2²+2⁰=21₁₀

11101₂=2⁴+2³+2²+2⁰=29₁₀ (не удовлетворяет условию 2<X<25)

Ответ: 5,13,21

5. Закрепление изученного материала

Самостоятельная работа учащихся.

Учащиеся получают тексты заданий для индивидуального решения (приложение 2)

6. Подведение итогов

Домашнее задание – приложение 3.

Имя

Имя