Проект «Решения олимпиадных задач» для учащихся 5-7 классов

Задачи на четность. Многие задачи легко решаются, если заметить, что некоторая величина имеет определённую чётность. Из этого следует, что ситуации, в которых данная величина имеет другую чётность, невозможны. Иногда эту величину надо «сконструировать», например, рассмотреть чётность суммы или произведения, разбить объекты на пары. Заметить чередование состояния, раскрасить объекты в два цвета и т.д.
Задача: Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1м). Докажите, что он сделал чётное число прыжков.
Решение: Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку. Количество прыжков вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков чётно.
Задачи на делимость. Необходимо знать признаки делимости и теоремы: 1. Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число. 2. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число. 3. Если в произведении нескольких натуральных чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то число, то и все произведение делится на это число. 4. Если некоторое целое число делится на другое, а это другое – на третье, то и первое число делится на третье. Основываясь на известных нам признаках делимости и теоремах 1-4, можно сформулировать и признаки делимости на 4, на 6, на 8, на 15 и другие.
Задача: Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 7 дает в остатке 6, а при делении на 9 остаток равен 8. Решение: В обоих случаях — как при делении искомого числа на 7, так и при делении его на 9 остаток на единицу меньше делителя. Увеличив делимое на 1, получим число, которое делится без остатка и на 7, и на 9. Наименьшее такое число — 63. Искомое число на 1 меньше и равно 62.
Задачи на проценты и отношения. Решение задач на применение основных понятий о процентах и отношениях. Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов. Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (а/в)*100%.
Задача: Влажность купленного арбуза составила 99%. В результате длительного хранения влажность снизилась до 98%. Как изменилась масса арбуза? Решение: Свежий арбуз на 99% процентов состотит из жидкости и на 1% — из сухой массы. В результате усушки количество жидкости уменьшилось и составило 98% от новой, также уменьшившейся массы арбуза. Количество же сухого вещества, оставаясь неизменным, составило 2% от новой массы арбуза. Процентное содержание в арбузе сухого вещества (при неизменной его массе) увеличилось вдвое. Следовательно масса арбуза в результате усушки уменьшилась вдвое. Задача: Условие В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятёрки, третья — четвёрки, половина — тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ? Решение: Поскольку число школьников, получивших ту или иную оценку, всегда целое, то для решения задачи нам надо найти целое число, меньшее 50, одновременно делящееся на 7, 3, 2. Единственным возможным ответом является число 42. Это значит, что всего в классе 42 ученика; 6 из них получили пятёрки; 14 — четвёрки; 21 — тройки. Следовательно, двойку получил 1 ученик. Задачи, решаемые с конца. Если в задаче задана некоторая операция, и она обратима, то можно сделать «обратный» ход от конечного результата к исходным данным. (Например, надо вынести шкаф из комнаты. Пройдёт ли он через дверь? Пройдёт, потому что через дверь его внесли). Анализ с конца используют при поиске выигрышных и проигрышных ситуаций.
Задача: Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Дедка, Бабка, Внучка, Жучка и Кошка вместе с Мышкой могут вытащить Репку, а без Мышки — не могут. Сколько надо позвать Мышек, чтобы они смогли сами вытащить Репку? Решение: Кошка заменяет 6 Мышек. Жучка заменяет 5•6 Мышек. Внучка заменяет 4•5•6 Мышек. Бабка заменяет 3•4•5•6 Мышек. Дедка заменяет 2•3•4•5•6 Мышек. Итого потребуется: (2•3•4•5•6) + (3•4•5•6) + (4•5•6) + (5•6) + 6 + 1 = 1237 Мышек.
Геометрические задачи. Пожалуй, самыми интересными и сложными среди олимпиадных задач являются задачи по геометрии. Мы не будем разбирать сложные задачи, ограничившись только отдельными подходами к решению геометрических задач. Даже их классификация представляет затруднения. Некоторые из задач можно назвать задачами геометрическими условно, ведь они сводятся к элементарным вычислениям. В таких задачах важнее всего идея решения. Задача : Размышляем над кубиком От кубика, склеенного из бумаги, отрезали уголок. Этот кубик разрезали по некоторым ребрам, развернули и получили одну из фигурок A — E. Какую? ответ Е

Памятка участнику олимпиады. Прочитайте все задачи и наметьте, в каком порядке вы будете их решать. Помните последние задачи обычно более сложные. Если для вас задача решалась слишком легко, то, скорее всего вы не поняли условие или где-то ошиблись. Если задача не решается – попробуйте упростить ее условие (взять меньшие числа, рассмотреть частные случаи и т.д) или порешать ее «с конца», «от противного», поставить вместо чисел переменные и т.д. Не зацикливайтесь на на одной задаче: иногда отрывайтесь от нее и оценивайте положение. Если есть хоть небольшие успехи, то можно продолжать, а если мысль ходит по кругу, то задачу лучше оставить, хотя бы на время. Почувствовав усталость – отдохните (посмотрите в окно, закройте глаза, отвлекитесь). Решив задачу, сразу оформите ее решение. Это поможет проверить рассуждения и освободить мысли для других задач. Перед сдачей работы, проверьте еще раз написанное – поймут ли ваши решения задач члены жури?

Список литературы Канель-Белов А. Я., Ковальджи А. К. Как решают нестандартные задачи / Под ред. В. О.Бугаенко.|4-е изд., стереотип.|М.: МЦНМО, 2008.| 96 c. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки / Под редакцией М.К. Потапова. – 2-е издание.- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.- 208с. Петраков И.С. Математические олимпиады школьников: Пособие для учителей.- М.: Просвещение, 1982.- 96с. Баранова т.А., Блинков А.Д., Кочетков К.П., Потапова М.Г., Семенов А.В. Олимпиада для 5-6 классов. Весенний тур Архимеда. Задания с решениями, технология проведения.-М.: МЦНМО – 2003г.- 125с. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 классы/ А.В. Фарков. -8-е изд., испр. И доп. – М.:Айрис-пресс, 2009.-256с. Севрюков П.Ф. подготовка к решению олимпиадных задач по математике / П.Ф. Севрюков. –Изд.2-е. –М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2009.- 112с. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Задачи на смекалку. Учебное пособие для 5–6 классов общеобразовательных учреждений. 8-е изд.-М.: Просвещение, 2006. Математика.5-9 классы. Развитие математического мышления: олимпиады, конкурсы / авт.-сост. И.В. Фотина.-Волгоград: Учитель, 2010.-202. Богомолова О.Б. Логические задачи /О.Б. Богомолова.-М.:БИНОМ. Лаболатория знаний, 2005. – 271с.:ил.