Муниципальная научно-практическая конференция

Научного общества учащихся Миасского городского округа

«Интеллектуалы XXI века»

Многогранная красота

Автор: Федоряк Екатерина,

11 класс, НОУ «Школа-интернат №14»

ОАО «РЖД», г. Миасс

Научный руководитель:

Зенбицкая Елена Евгеньевна,

учитель математики,

НОУ «Школа-интернат №14»

ОАО «РЖД», г. Миасс

Миасский городской округ, 2013

Эпиграф

Математика владеет, не только истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.

Бертран Рассел

Цель нашего исследования: показать, что математика владеет и истиной, и красотой на примере правильных многогранников.

В задачи нашего исследования входило:

• Проверить теорему Аполлония Пергского.

• Сделать несколько моделей многогранников, описанных в книге Веннинджера М.

«Модели многогранников». Перевод с англ. В.В.Фирсова под ред. И послесл.

И.М.Яглома., М.: Мир, 1974

• Показать красоту правильных многогранников в природе, архитектуре, искусстве.

Введение.

Изучая тему «Многогранники» и в том числе «Правильные многогранники» мы обратили внимание на их красоту и совершенство. Нам захотелось сделать самим модели таких тел. Узнать, в каких областях нашей жизни встречаются многогранники.

Знакомясь с историей многогранников по книге Г. И. Глейзера «История математики в школе IX — X классы», Мы прочитали о теореме Аполлония Пергского про октаэдр и икосаэдр. Решили проверить справедливость этой теоремы. Таким образом показать и истинность, и красоту математики.

Решили сделать проект «Многогранная красота».

1

Основная часть.

Истина где – то рядом!

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к правильным многогранникам — удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

По Платону: форма первоэлемента Земли – куб. Воздуха – октаэдр. Огня – тетраэдр. Воды — икосаэдр, а всему миру творец придал форму додекаэдра.

О том, что Земля имеет форму шара, учили Пифагорейцы. По Пифагору, существует 5 телесных фигур: высшее божество само построило Вселенную на основании геометрической формы додекаэдра. Земля подобна Вселенной, и у Платона Земля – тоже додекаэдр.

Иоганн Кеплер называл куб «родителем» всех правильных многогранников. На основе куба он смог построить все другие виды правильных многогранников.

«Правильных многогранников вызывающе мало,

но этот весьма скромный по численности отряд сумел

пробраться в самые глубины различных наук»

Л. Кэррол.

2

Аполлоний Пергский (ок. 262—ок. 190 до н. э.) — древнегреческий математик.

Его сочинения до нас почти не дошли. Но дошла его теорема о том, что

отношение объёмов октаэдра и икосаэдра равно отношению их поверхностей.

Нам эта теорема показалась нам интересной, и мы решили её проверить.

3

Сначала взяли готовые формулы поверхностей и объёмов октаэдра и икосаэдра. Нашли отношения поверхностей и объёмов этих тел.

Октаэдр Икосаэдр

_S S = _

_. _12 = 2,1817a³

_

Получили ошеломляющий результат.

Теорема не подтвердилась!

4

Решили проверить эту теорему другим методом.

Нашли объёмы тел как суммы объёмов частей этих тел. Изготовили модели частей с одинаковой длиной стороны 4,5 см и измерим все остальные элементы.

Для октаэдра.

Нашли объём правильной четырёхугольной пирамиды.

∆SOA: SA = 4,5, AO = 2,25_ = 2,25 _ 1,4 = 3,15_,

S по т.Пифагора

SO = _3,2

В С результаты измерения и вычисления совпадают

O

А D

S_осн.= 4,5² = 20,25, V_{октаэдра} = 2V = _= _ = 44,55

Для икосаэдра.

Нашли объём правильной пятиугольной пирамиды и правильной пятиугольной призмы.

Нашли площадь основания пирамиды как сумму площадей треугольника

и трапеции.

Измерили. a = 4,5см – сторона

икосаэдра,

h₁ = 2,5см — высота треугольника,

a₁ = 7,4см – основание ∆

S_∆ = _

a₁ = 7,4см – большее основание трапеции

b = 4,5см – меньшее основание трапеции

h₂ = 4,2см – высота трапеции 5

Н₁ = 2,5 см – высота пирамиды

Н₂ =4 см – высота призмы

S_{трапеции} = _

S_{основания} =9,25 + 24,99 = 34,24 см²

V_{пирамиды} = _2,5 = 28,53 см³

V_призмы = 34,24 _ 4 = 136,96 см³

V_{икосаэдра} =2V_{пирамиды} + V_призмы =194,02 см³

_

И снова теорема не подтвердилась!

Решили проверить теорему ещё и аналитическим методом.

Длина стороны 4,5 см. Вычислили все остальные элементы.

Для октаэдра.

Нашли объём правильной четырёхугольной пирамиды и умножили его на два.

∆SOA: SA = 4,5, AO = 2,25_ = 2,25 1,4 = 3,15_,

S по т.Пифагора

SO = _3,2

В С

O

А D

S_осн.= 4,5² = 20,25, V_{октаэдра} = 2V = _= _ = 44,55

21 слайд

Для икосаэдра.

Нашли объём правильной пятиугольной пирамиды и правильной пятиугольной призмы. 6

Нашли площадь основания пирамиды как сумму площадей треугольника

А и трапеции.

1 h₁ 2 a = 4,5см – сторона икосаэдра,

h₂ <A =[(5 – 2)180⁰]: 2 = 108⁰

основание треугольника нашли по теореме косинусов (квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними) 4,5² + 4,5² — 2_ 4,5_ 4,5_ cos108⁰ = 20,25 + 20,25 +2_ 20,25_ cos(90⁰ + 18⁰) = 40,5 + 40,5_ sin18⁰ = 40,5 + 40,5_ 0,309 = 40,5 + 12,5 = 53; a²₁ = 53 см²; a_{1 } 7,3см – основание ∆. S_∆ = _ a² _ sinA; S_∆ = _

<2 >0 – 36⁰ = 72⁰

a₁ = 7,3см – большее основание трапеции

b = а = 4,5см – меньшее основание трапеции

h₂ = 4,5 _ sin72⁰ =4,5 _ 0,9511 = 4,3см – высота трапеции

S_{трапеции} = _

S_{основания} =9,6 + 25,37 = 34,97 см²

2,5 см – высота пирамиды

Н₂ =4 см – высота призмы

V_{пирамиды} = _2,5 = 29,1 см³

V_призмы = 34,97 4 = 139,88 см³

V_{икосаэдра} =2V_{пирамиды} + V_призмы = 198,1 см³

Нашли отношение

_

И снова теорема не подтвердилась!

7

Тогда мы решили проверить ещё одним способом: По закону Архимеда.

Объём тела равен массе жидкости, вытесненной им при погружении тела в эту жидкость.

Мы сделали из пластилина модели октаэдра и икосаэдра. Налили до краёв в химический стакан воды и поместили его в другую ёмкость. Погрузили в воду октаэдр. Вылившуюся воду перелили в мерный стакан, получили 44,5 г. Так же мы поступили с икосаэдром. Получили 111,5г.

_

Получилось!

Красота спасёт мир!

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двух летнего ребёнка, играющего кубиками, до зрелого математика.

В течение всей жизни человек тесно связан с многогранниками. Несмотря на отсутствие знания таких сложных терминов, как «тетраэдр», «октаэдр», «додекаэдр» и «икосаэдр», он уже с самого раннего детства испытывает интерес к этим уникальным фигурам. Ведь суть «кубиков» — одной из самых популярных детских игр — состоит в том, чтобы построить из многогранников объект.

На протяжении многих веков людей словно притягивают эти тела. Древние египтяне строили гробницы своим фараонам (которых они считали полубогами) в форме тетраэдра, что еще раз подчеркивает величие и этих фигур.

Но не только руками человека создаются эти загадочные тела. Одни из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов,

• Кристаллы поваренной соли имеют форму куба.

8

• Алмаз (от греческого adamas – несокрушимый) – бесцветный или окрашенный кристалл с сильным блеском в виде октаэдра. Кристаллы алмаза представляют собой гигантские полимерные молекулы и обычно имеют форму октаэдров, ромбододекаэдров, реже — кубов или тетраэдров.

9

другие – в виде вирусов (были обнаружены учеными с помощью электрического микроскопа).

Структура ДНК генетического кода жизни – представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра!

Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра. Он может жить и размножаться только в клетках человека и приматов

10

Огуречный вирус, который поражает растения

Помидоров и огурцов имеет форму додекаэдра

скелет одноклеточного организма Феодарии по

форме напоминает икосаэдр.

Многогранники имеют не только значение при геометрических исследованиях по геометрии, но и для практических приложений в других разделах математики. Формы многогранников находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей, которые используются в реальных архитектурных проектах. Идёт это с глубокой древности. «Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса — немой трактат по геометрии, а греческая архитектура — внешнее выражение геометрии Евклида.

11

Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остаётся грамматикой архитектора» — это высказывание принадлежит великому французскому архитектору Ле Корбюзье.

12

В живой природе совершенством красоты и оптимальности считаются соты пчёл.

• Из правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр у правильных шестиугольников.

• Верхняя часть пчелиной ячейки представляет собой часть ромбододекаэдра, площадь поверхности которого меньше площади поверхности правильной шестиугольной призмы.

• А биологи говорят о том, что шестиугольные соты пчел, содержащие мед, имеют форму правильного многогранника. Существовала гипотеза, что именно правильная шестиугольная форма сот помогает сохранить полезные свойства этого ценного продукта.

• При такой «математической» работе пчёлы экономят 2% воска. Количество воска сэкономленного при постройке 54 ячеек, может быть использовано для постройки одной такой же ячейки. Стало быть, мудрые пчёлы экономят воск и время для постройки сот.

13

А какие изумительные и причудливые формы имеют цветы!

14

• Додекаэдрическая структура, по мнению Д. Винтера (американского математика), присуща строению живого вещества. В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы.

В химии.

• Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

15

Многогранники широко используются в ювелирном деле.

16

Многогранники в искусстве

Сальвадор Дали. Тайная вечеря 1955

Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Учёным достаточно хорошо изучены правильные выпуклые многогранники, доказано, что существует всего пять видов таких многогранников, но сам ли человек их придумал? Скорее всего – нет, он «подсмотрел» их у природы.

Меланхолия (гравюра Дюрера) 1514 г.

На переднем плане в окружении разбросанных в беспорядке столярных и строительных инструментов, сидит, подперев рукой голову, погружённая в глубокую задумчивость крылатая женщина. Неподалёку на земле лежит деревянный шар, дальше виднеется большой каменный многогранник. На стенах зданиях висят песочные часы, весы и колокол и начертан магический квадрат. Дюрер составил первый в европейском искусстве магический квадрат 4 х 4. Сумма чисел в любой строке, столбце, диагонали, и даже в каждой четверти (по углам и в центральном квадрате тоже) и в углах большого квадрата равна 34. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514).

17

Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки — это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

18

Оригами в нашей школе.

Мы создаём красоту своими руками.

19

20

Заключение.

Мы достигли цели. Выполнили все поставленные задачи.

«Наглядное понимание играет первенствующую роль
в геометрии, и притом не только как обладающее
большей доказательной силой при исследовании,
но и для понимания и оценки результатов исследования».
(Д.Гильберт, 1932г.)

Эти слова как нельзя лучше подводят итог тому, что мы делали:

Узнали больше о применении многогранников в жизни, сделали вывод, о том, что многогранные формы окружают нас в повседневной жизни повсюду: спичечный коробок, книга, комната, молочные пакеты в форме тетраэдра или параллелепипеда, здания. Почти все сооружения, возведённые человеком, от древнеегипетских пирамид до современных небоскрёбов, имеют форму многогранников.
Изготовили модели многогранников своими руками.

Проверили теорему Аполлония Пергского.

Показали красоту и истинность математики.

Сделали следующие выводы:
1. проблема исследования многогранников была насущной всегда.
Философы-математики в попытке описать и объяснить устройство Вселенной и природу пространства обращались к понятию многогранников.
Таким образом, математическое понятие «многогранники» становится своего рода философской категорией. Эта тема актуальна всегда.
2. Современные формулы для вычисления объёмов сложных многогранников дают, весьма, приближённое значение. Если нужно более точное значение, то вычислять его нужно по закону Архимеда. Всякая научная гипотеза, даже неверная, способствует в конечном итоге общему научному прогрессу.

«Когда мы стремимся искать неведомое нам, то становимся лучше, мужественнее и деятельнее тех, кто полагает, будто неизвестное нельзя найти и незачем искать».

Эта мысль Платона должна сопровождать вас на всем жизненном пути.

21

Использованные материалы.

1. Интернет – ресурсы.

2. Математическая энциклопедия. Издательство «Советская энциклопедия» Москва 1977 г.

3. Учебник Л. С. Атанасяна «Геометрия 10 – 11»

4. Глейзер Г.И. «История математики в школе». IX-X классы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983

5. Веннинджер М. «Модели многогранников». Перевод с англ. В.В.Фирсова. под ред. И послесл. И.М.Яглома., М.: Мир, 1974

22

23