Занятие математического кружка по теме:
Фигурные числа
Абрамова Елена Викторовна, учитель математики ГБОУ ООШ №2 г.о.Отрадный, Самарской области.
Цели урока:
1. Методические:
— познакомить учащихся с фигурными числами числами;
— развивать быструю работу мысли и внимательность;
2. Психолого-педагогические:
— создать у школьников положительную мотивацию к выполнению умственных и практических действий;
-развивать интерес у учащихся не только к содержанию, но и к прцессу овладения знаниями;
— воспитать у учащихся чувство удовлетворения от возможности показать на уроке свои знания не только по математике, но и в других областях школьных знаний.
Оборудование: презентация к уроку.
Ход урока
1. Организационный этап. (слайд 1)
2. Фигурные числа — это общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой.
Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске — абаке. По этой причине греки не знали нуля, т.к. его невозможно было «увидеть». Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», т.е.между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней «семя и вечный корень».Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как «числового атома», роднило ее с точкой, считавшейся «геометрическим атомом». Вот почему Аристотель писал: «Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения».Т.о.пифагорейские числа в современной терминологии — это натуральные числа.
Числа камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.
-
Линейные числа (т.е. простые числа) — числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию: (слайд 2)
(линейное число 5)
Задание 1. Изобразите ещё три других линейных числа. (слайд 3)
-
Прямоугольные числа. Составное число можно по – разному представить в виде произведения двух чисел, каждое из которых отлично от 1: 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4 = 4 ∙ 3 = 6 ∙ 2. Прямоугольные числа рассматриваются в качестве синонима составного числа. Каждое из них представимо в виде прямоугольника размером m ∙ n ( m ≠ 1, n ≠ 1). На рисунке приведены изображения прямоугольного числа 12. (слайд 4)
● ●
● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
Задание 2. Приведите различные изображения прямоугольных чисел 6 и 8. (слайд 5)
-
Треугольные числа. На рисунке изображены три треугольных числа. Для построения их понадобилось 3, 6 и 10 камешков соответственно.
(слайд 6)
Задание 4. Изобразите следующие два треугольных числа и определите, сколько камешков понадобится для каждого из них. (слайд 7)
Ответ: 15; 21.
IV. Квадратные числа. На рисунке изображены три квадратных числа. Для построения их понадобилось 4, 9 и 16 камешков соответственно.
(слайд 8)
Задание 5. Изобразите следующие два квадратных числа и определите, сколько камешков понадобится для каждого из них. (слайд 9)
Ответ: 25; 36.
V. Пятиугольные числа. (слайд 10)
(пятиугольные числа 5,12)
VI. Телесные числа. (слайд 11, 12)
-
Кроме плоских фигурных чисел, существуют еще пространственные фигурные числа.
Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде — треугольное число. Наверху один камушек, под ним — 3, под теми — 6 и т.д.:
1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, …
Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5х5х5=125… и так далее.
Теперь понятно, почему про такие числа говорят: «два в кубе», «три в кубе», «девять в кубе»?
Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов — измерению площадей и объемов. Так, представляя число 10 в двух формах:
5∙ 2=2∙5, легко «увидеть» переместительный закон умножения: a∙b=b∙a.
В том же числе 10:
(2+3)∙2=2∙2+3∙2=10 можно «разглядеть» и распределительный закон сложения относительно умножения: (a+b)c=ac+bc.
Наконец, если «камешки», образующие фигурные числа, мыслить в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число ab: ……
автоматически получаем формулу для вычисления площади прямоугольника: S=ab. (слайд 13, 14)
Задание 6. Почему числа 2·2·2·2=16, 3·3·3·3=81, 4·4·4·4=256 и т.д. не имеют своего названия, хотя у квадратов и кубов чисел такие названия есть? (слайд 15)
Задание 7. Натуральные числа 471; 289; 562; 318 разложите на сумму треугольных, квадратных и пятиугольных чисел. (слайд 16)