Тема урока: Логарифм числа (2 ч).
Цели: закрепить знание основных свойств показательной функции и умение решать показательные уравнения;
Развивать представление о числе для этого ввести понятие логарифма числа, логарифмического тождества, в ходе выполнения упражнений формировать знание определения логарифма любого положительного числа по данному основанию и логарифмического тождества.
Ход урока.
-
Повторение изученного материала.
1. Результаты письменного зачета.
2. Решить на доске показательные уравнения из домашней работы, из зачета, вызвавшие затруднения у учащихся.
х х+1 х-1 х х 2х
4 = 32, 3 + 3 = 14, 4 — 5 2 + 6 = 0, 5 =-25.
-
Фронтальный опрос учащихся.(показ слайдов)
-Какая функция называется показательной?
-Какими свойствами обладает показательная функция?
-Какова ее область определения?
-Какова область значений функции?
-Какова показательная функция по монотонности?
-Возрастает или убывает функция:
x x 2x sin x
y = 5 , y = (1/2 ) , y = 3 , y = 2 .
-Сформулируйте теорему о корне. (п. 8).
Повторим решение показательных уравнений на конкретных примерах:
Как будете решать? (проверка с доски, обсуждение решений, постановка проблемы урока).
х х+1 х-1 х х 2х
4 = 32, 3 + 3 = 14, 4 — 5 2 + 6 = 0, 5 =-25.
2х 5 х 1 х -1 2х х
2 = 2 , 3 3 + 3 3 = 14, 2 — 5 2 + 6 = 0, Ответ: нет корн.
x
3 ( 3 + 1/3) = 14, 2 = t,
x 2
3 = 14 : 10/3, t — 5 t + 6 = 0,
x
3 = 4,2 , t =3, t = 2 ,
x x
2 = 3, 2 = 2,
t
Так как показательная функция у=(а ) возрастает (а>1) или убывает (0<а<1) на всей области определения , то каждое свое значение она принимает только один раз.
Показательные уравнения при решении обычно сводят к простейшим и логарифмируют. Получить корни уравнений ребята не смогли… С этой трудностью вы справитесь , научитесь применять логарифмирование и узнаете что такое логарифм.
Итак, прежде чем ввести определение логарифма закончим решение уравнений.
Логарифмирование уравнения – это метод решения простейших показательных уравнений с помощью перехода к равносильному уравнению.
f(x)
Если b>0, a>0 , a#1, то a = b тогда и только тогда когда f(x) =log b.
f(x) g(x)
Если a>0, a#1, то a = b тогда и только тогда когда f(x) = g(x).
.
2х = 5 , х = log 4,2 , x = log 3, x = 1.
x =2,5. 3 2
Ответ: 2,5. Ответ: log 4,2. Ответ: 1; log 3.
-
2
-
Изучение нового материала.
x
— По графику функции y = a ( 0<a<1; a # 1).
х
о
с
b
x
y=a
y
c
можно найти число a для любого действительного числа с.
Но этот же график дает возможность решить обратную задачу:
для данных положительных чисел b и a (a# 1) найти число с, такое, что
с
b = a .
для этого надо отметить на оси ОУ точку, имеющую координаты (0; b) и через нее провести прямую у = b параллельную оси ОХ. Она пересечет график функции
x
y = a в единственной точке М , абсцисса с точки М удовлетворяет условию
c
b = a .
М
b
х
с
о
у
У=b
Полученное таким образом число с единственное, удовлетворяющее этому условию.
Следовательно, для любого положительного числа b существует, и притом только
c
одно, число с, такое , что b = a . Это число называют логарифмом числа b по основанию а.
Итак,
Если а>0, a#1, b>0, то log b по определению есть показатель степени,
а
в которую надо возвести число а , чтобы получить b.
Поэтому равенство есть тождество,
которое называют основным логарифмическим тождеством.
Например , log 6 log 7
-
3
3 = 6, 3 = 7.
Для обозначения десятичных логарифмов принята специальная запись:
вместо log b , где b>0 пишут lg b.
10
-
Закрепление изученного материала.
-
Решить № 477, 478, 479, 480 (спрашивать определение логарифма с последующей проверкой на слайдах ).
-
Письменно решить № 482 (б,г), 483 (а,б), 485.
-
Устно решить № 488.
-
Решить на доске и в тетради № 489.
№ 477. Найдите логарифм по основанию а числа, представленного в виде степени с основанием а.
0,5
а). 9 = 3
Решение. 9- основание, 0.5- показатель
Log 3 = 0,5
9
0 1/5 -1
Б). 7 = 1, в). 32 = 2. г). 3 = 1/3.
№ 478.
2 /3 3 /5 3/ 4 2 /3
А). 27 = 9, б). 32 = 8, в). 81 = 27, г). 125 =25.
№ 479. Проверьте справедливость равенств.
А). log 1/81 = -4
3
Решение.
По определению логарифма -4- показатель степени , в которую нужно возвести 3 , чтобы получить число 1/81.
-4 4
3 = 1/81, (1/3) = 1/81, 1/81 = 1/81.
б). log 1 = 0, в ). Log 16 = 2, г). Log 125 = 3
16 4 5
№ 480. Проверьте справедливость равенств.
А). log 0,04 = -2, б). log 343 = 3, в). lg 0,01 = 2, г).log 1/243 = -5.
5 7 3
№ 482 (б;г).
Б). log 0,008 = 3, г). log 125 = -3?
0,2 0,2
Решение. Решение.
3 -3
0,2 = 0,008— Ист. 0,2 = 125,
-3 3
(1/5) = 5 ,
3 3
5 = 5 — Ист.
№ 483 ( а, б). Найдите логарифмы чисел по основанию а.
1/2
А). 25, 1/5, 5 при а = 5.
Решение.
1/2
Log 25 = …, log 1/5 = …, log 5 = …; при а = 5 получим
a a a
1/2
Log 25 = …, log 1/5 = …, log 5 = …;
5 5 5
Б). log 64 = … , т. к. …
8
Log 1/8 = … , т.к. ….
8
Log 2 = … , т.к. …
8
№ 485. Найдите число х.
А). log x = -3, б). Log x = 0,
4 5
х = …, x = …,
х =… x = …
Ответ: … Ответ: …
№ 489 . Упростите.
1+log 3 log 3
5 1 5 1
А) 5 = 5 5 = 5 3 = 15.
1 – lg 2 1 lg 2
б). 10 = 10 : 10 = 10 : 2 = 5.
1+ log 2
1/7
в). (1/7) = 1/7 * 2 = 2/7.
4. Домашнее задание: п. 37 (1), № 481, 483 (в, г) , 484, 486, 487.
«Сведения из истории» стр. 257 – 261 учебника.
По желанию:
( Мехмат, МГУ, 1999) Известно, что для некоторой тройки чисел х, у, z
(х отлично от у) выражения
3
Log xyz ( xy / z) , log xyz ( xy / z).
Равны одному и тому же числу. Найдите это число.
Решение .
Пусть оба выражения равны одному и тому же числу t , тогда по определению логарифма
…………………………., ……………………………,
………………………….., …………………………..,
Поделив первое равенство на второе получим
………………………………………………..,
……………………………………………………,
……………………………………………., ………………………………………..,
Зная , что х # 0, и х/y #1, 3t = 1/6, t = 1/18. Ответ: 1/8. 5. Итоги урока.
Итак, сегодня на уроке вы познакомились с понятием логарифма числа, основным логарифмическим тождеством и научились применять их в ходе преобразования выражений. При решении показательных уравнений добились путем логарифмирования вычислять все корни или доказывать, что корней нет.
Итак, что такое ЛОГАРИФМ ЧИСЛА?
Молодцы! Оценки за урок …
ГОНКА.
Вычислить: (в тетрадях)
1 вариант 2 вариант.
Log 2 log 4 log 8 log 16 log 32 log 1
2 2 2 2 2 2
Log 1/32 log 1/16 log ¼ log 1/8 log ½ log 2
2 2 2 2 2 2
Log 1 log 3 log 9 log 27 log 81 log 1/3
3 3 3 3 3 3
Log 1/9 log 1/27 log 1/81 log 3 log 1/ 3 log 1
3 3 3 3 3 5
log 5 log 25 log 125 log 625 log 1/5 log 1/25
5 5 5 5 5 5
log 1/125 log 1/625 log 5 log 1/5 log 2 log 1/2
5 5 5 5 8 8
log 0,2 log 0,04 log 9 log 27 log 4 log 125
5 5 1/3 1/3 0,5 0,2
1/2
lg 1 lg 10 lg 100 lg 1000 lg 0,001 lg 10
log 5 log 7 log 3 log 5,2 log 2 log 11
2 3 5 П 1,6 3,8
2 3 5 П 1,6 3,8
Сдайте тетради, урок закончен.