КОНСПЕКТ УРОКА

по учебному предмету

« математика»

ТЕМА: Уравнения с параметрами.

Класс — 8

Составитель: Гришутина Лариса Петровна,

учитель математики МБОУ «СОШ № 12»

Энгельсского муниципального района

Саратовской области.

Цель: формирование умений решать простейшие уравнения с параметрами.

Учебные задачи:

— расширить знания, умения и навыки при решении уравнений с параметрами.

Развивающая задача: развивать творческую сторону мышления и интерес к заданиям исследовательского характера.

Воспитательная задача: умение поддерживать диалог, формировать навыки умственного труда.

Ход урока:

1. Организация урока: После приветствия объявляется тема урока и задачи. Затем необходимо обратить внимание учащихся на важность изучаемого материала для подготовки к экзаменам в школе.

2. Устные упражнения.

1) Определите тип уравнения. Сколько корней у него может быть? Решите его.

а) 3х – 6 = 0, 0х = 5, 0х = 0.

Работа с опорным конспектом по повторению:

ах = в — линейное

а 0 х =  — один корень

б) 2х² – 3х + 6 = 0

Д < 0, т.е. нет корней.

Измените условие так, чтобы полученное уравнение имело два корня.

Работа с опорным конспектом по повторению:

ах² + вх + с = 0 , а  0 — квадратное

1. Если Д > 0, то 2 корня,

2. Если Д = 0, то 1 корень,

3. Если Д < 0, то нет корней.

в) = 144

Измените условие так, чтобы полученное уравнение не имело корней.

г) [х] =1 7

Измените условие так, чтобы полученное уравнение не имело корней.

Работа с опорным конспектом по повторению:

[х] =

х при х > 0, — х при х < 0,

2) Чем отличаются уравнения ах = в и 3х = 6, ах² + вх + с = 0 и 2х²–3х+6 = 0?

(Ответ учащихся: в первом и третьем уравнениях не числовые коэффициенты).

Учитель: Действительно, в уравнениях ах = в и ах² + вх + с = 0 не числовые коэффициенты, а буквенные. Именно такие уравнения и станут предметом нашего изучения на уроке. Работать будем с опорными конспектами.

3. Изучение нового материала.

1) Определение. Уравнение, в котором помимо переменной содержится буквенное выражение, называется уравнением с параметрами.

Примеры: аx + в = 0 (x – переменная, а и в – параметры),

аx² + вx + с = 0 (x – переменная, а, в и с – параметры).

2) Чаще всего встречаются две постановки задач.

Первая: для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения.

Вторая: найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.

Пример: (а – 2)х² + 3х – 4 = 0

Первая постановка задачи: решите уравнение. Это значит, что для каждого значения параметра а, необходимо найти решения.

Вторая постановка задачи: при каких значениях параметра а уравнение имеет два различных корня.

Определение. Решить уравнение с параметром – значит, для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.

Решение уравнений. (Работа с опорными конспектами. Учащиеся привлекаются к поиску ответов).

1). Простые уравнения без ветвлений:

а) x – а = 0 Ответ: при а  ( —  , +  ) х = а.

б) 5x = а Ответ: при а ( —  , +  ) х = .

в) x : 2 = а Ответ: при а  (-  , +  ) х = 2а.

г) [x] = [а] Ответ: при а  (-  , +  ) х = ± а.

д) x³ = а Ответ: при а  (-  , +  ) х = .

2). Простые уравнения с ветвлениями:

а) аx = 10 Ответ: при а  0 х = , при а = 0 решений нет.

б) 0x = а Ответ: при а  0 корней нет, при а = 0 х – любое число.

в) [х] = а Ответ: при а < 0 корней нет, при а = 0 х = 0, при а > о х = а.

г) (а² – 4)x = а² + а – 6

Решение г). Если а² – 4 0, т.е. а  ± 2, то х = .

При а = -2 уравнение имеет вид: 0х = -4, т.е. не имеет корней.

При а = 2 исходное уравнение принимает вид: 0х = 0, т.е. х – любое число.

Ответ: при а  ± 2  х = ,

при а = — 2 корней нет,

при а = 2 х – любое число.

(Обратить внимание учащихся на тот факт, что при решении данного уравнения получили исключение для параметра. В таких случаях необходимо делать проверку (испытание) для каждого исключения: подставить значение параметра в исходное уравнение и решить его).

4. Закрепление. (Коллективный поиск решения, оформление решения на доске и в тетрадях учащихся).

Решите уравнения:

 = 1

Решение: х 2, тогда а = х – 2 или х = а + 2.

Найдем а, при котором х = 2

2 = а + 2, а = 0.

Итак, при а = 0 х = 2, но это посторонний корень.

Ответ: при а = 0 корней нет, при а 0 х = а + 2.

2) (а – 2)х² + 3х – 4 = 0.

(Обратить внимание учащихся на то, что в ходе решения уравнения 1) появилось исключение для х. В таком случае необходимо найти значение параметра, при котором есть исключение для переменной).

5. Итог урока.

Повторить основные этапы решения уравнений с параметрами.

Домашнее задание: опорный конспект и решение уравнений (примерный набор заданий – карточки).

1) (а² – 1)х = а + 1,

2)  = 0,

3) (х – 1)х – а = 0,

4) ах² – 4х + 3 = 0.