Открытая олимпиада школьников
«Интеллектуальный марафон»2012-2013гг.
Математика. 10 класс.
Часть 1
Решения заданий записывать. (За каждое задание 5 баллов, всего 50 баллов).
1. Найдите значение выражения , если, а =121, b=16.
2. Упростите выражение cos2α sin(β—α) — cos(β—α) sin2α.
3. Решите уравнение
4. Найдите наибольшее целое значение функции.
5. Две шкурки общей стоимостью в 2250 рублей были проданы с прибылью в 40%. Какова стоимость второй шкурки, если от первой было получено прибыли 25%, а от второй 50%?
6. Вычислить:
7. Из треснувшей бочки за 5 часов вытекает 4 литра воды. Сколько воды было в бочке, если она опустела за 7,5 часов?
8. В равнобедренном треугольнике АВС вписан прямоугольник KLMN. Вершины K и L лежат на стороне ВС, при этом ВК=КС, вершина М лежит на АС, а вершине N – на АВ. Найдите площадь прямоугольника.
9. Имеется лист фанеры прямоугольной формы, длина и ширина которого, соответственно, равны 8 дм и 4 дм. Из него, как показано на рисунке, вырезана фигура (BM, MN, CN – дуги с центрами в точках A, O, D). Сколько килограммов краски потребуется, чтобы покрасить получившуюся фигуру, если на 1 дм2 поверхности расходуется 0,03 кг краски?
10. Вершина A параллелограмма АВСD соединена с точкой P на стороне BC. Отрезок AP пересекает диагональ BD в точке M. Площадь треугольника ABM=20, а площадь треугольника BMP=16. Найдите площадь параллелограмма АВСD.
Часть 2.
1.Найти наибольшее значение функции . (10 баллов).
2. Биссектриса угла равнобедренного треугольника пересекает сторону в точке . Найдите углы треугольника , если . (20 баллов).
3. Найти все целые значения параметра а, при которых неравенство
не имеет решений.
(20 баллов).
Ответы.
Часть 1.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| -7 | Sin(b-3a) | Реш. нет | 8 | 1350 | 0 | 6 | 4 | 0,48 | 90 |
Часть 2.
1.Найти наибольшее значение функции .
Решение:
Область определения данной функции состоит из всех действительных значений . Т.к. и квадратный трехчлен принимает только положительные значения, т.к. и , то дробь при всех Значит эта дробь принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя при .
Ясно, что при значение , а это наибольшее значение . Таким образом, наибольшее значение данной функции равно .
2.Биссектриса угла равнобедренного треугольника пересекает сторону в точке . Найдите углы треугольника , если .
Решение.
Пусть (рис. 2). Тогда (внешний угол треугольника ). По теореме синусов для треугольника имеем:
.
По теореме синусов для треугольника имеем:
.
Поэтому
.
Так как по условию , то
.
Учитывая, что , получаем
.
Преобразуя, получим
или
.
Так как , то . Следовательно, .
Таким образом, .
3. Найти все целые значения параметра а, при которых неравенство
не имеет решений.
Решение.
1) Найдем область определения неравенства:
.
2) Найдем значения а, при которых — не является решением данного неравенства.
Пусть — решение данного неравенства. Это значит, что , т.е. . Следовательно, при не является решением.
3) Теперь найдем те значения а, при которых не является решением данного неравенства. Это значит, что , т.е. . Следовательно, при не является решением.
4) Найдем те значения а, при которых и и не являются решениями данного неравенства. Это . Целыми значениями, а из полученного интервала является .
Ответ: .
Критерии оценивания.
Каждая работа оценивается и проверяется не менее чем 2-мя членами жюри.
1 часть (5 баллов за каждое задание).
5 баллов ставится за верное решение;
4 балла – за верное решение с недочетом;
2-3 балла – решение в основных чертах верное, но неполное или содержит непринципиальные ошибки;
1 балл – решение в целом неверное, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении;
0 баллов – решение неверное или отсутствует.
2 часть.
1 задание.
10 баллов – решение верное, даны необходимые пояснения;
5 баллов – идея решения верная, недостаточны пояснения или допущена техническая ошибка;
0 баллов – решение неверное или отсутствует.
2 задание.
20 баллов – решение верное, приведены необходимые пояснения;
15 баллов – решение верное, но нет необходимых пояснений;
10 баллов – идея решения верная, решение доведено до конца, но допущена ошибка в тригонометрических преобразованиях;
5 баллов – нет необходимых пояснений или допущена ошибка, решение не доведено до конца, но содержит более или менее существенное продвижение в верном направлении;
0 баллов – решение неверное или отсутствует совсем.
3 задание.
20 баллов – решение верное, приведены необходимые пояснения;
15 баллов – решение доведено до конца, но допущена вычислительная ошибка в ходе решения, незначительно повлиявшая на ответ;
10 баллов – идея решения верная, решение доведено до конца, но неверно найдена ОДЗ (неверно решено одно из неравенств);
5 баллов – идея решения верная, но нет необходимых пояснений или допущена техническая ошибка и решение не доведено до конца;
0 баллов – решение неверное или отсутствует совсем.