Урок математики в 9 классе «Сумма n первых членов геометрической прогрессии»

Автор: Безрукова Валентина Викторовна.

Название ОУ: Бишевская СОШ.

Поселок Свияжский Татарстан.

Должность автора: учитель математики.

Дата добавления материала: 7.03.2011 г.

Урок математики в 9 классе:

«Сумма n первых членов геометрической прогрессии»

Цели урока.

Познавательные цели — провести актуализацию опорных знаний и умений, развивать готовность учащихся к активной учебно-познавательной деятельности на основе опорных знаний, вывести формулы n-первых членов геометрической прогрессии.

Развивающие цели – формировать у учащихся умения анализировать, учить выделять главное, сравнивать, строить, обобщать и систематизировать, ставить и разрешать проблемы; развивать интерес учащихся к истории развития математики, учёным-математикам.

Воспитывающие цели — воспитывать у учащихся дисциплинированность, аккуратность.

1.Актуализация знаний.

1. Проверка домашнего задания.

2. Устный опрос:

— Какая последовательность называется арифметической прогрессией?

— Как называют число d и по какой формуле его вычисляют?

— Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.

— По какой формуле находим сумму n первых членов арифметической прогрессии, если известно значение а₁ и а_n ?

— По какой формуле находим сумму n первых членов арифметической прогрессии, если известно значение а₁ и d?

— Какая последовательность называется геометрической прогрессией?

— Как называют число q и по какой формуле оно вычисляется?

— Запишите формулу n-го члена геометрической прогрессии?

3) Решение задач на логическое мышление:

№1. В одном древнегреческом папирусе приводится задача: «Имеется 7 домов, в каждом по 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, даёт 7 мер зерна. Нужно подсчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна.» Как велики числа этого ряда?

7, 7², 7³ ,7⁴ ,7⁵ .

( 7, 49, 343, 2401, 16807 )

— Какую прогрессию вы составили?

— Обратите внимание на быстрый рост членов геометрической прогрессии.

Решение этой задачи приводит к сумме: 7+7²+7³+7⁴+7⁵ , т.е. сумме пяти членов геометрической прогрессии.

№2. Откройте учебник на странице 90. Перед вами портрет великого немецкого учёного математика, астронома, физика и геодезиста Карла Гаусса.

Рассказывают, что в начальной школе, где учился мальчик Карл Гаусс, учитель, чтобы занять класс на продолжительное время самостоятельной работой, дал детям задание-

Вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Но маленький Гаусс это задание выполнил моментально. Попробуйте и вы быстро выполнить это задание.

(1+100) * 100

S= ————————- = 5050

2

— Какая прогрессия, арифметическая или геометрическая, используется в этой задаче? ( арифметическая прогрессия)

2. Формирование новых знаний.

1) — В старинной «Арифметике» Магницкого ( которой в 2003 году исполнилось 300 лет) приведена следующая задача:

Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель приобретая лошадь, раздумал её

покупать и возвратил продавцу, говоря:

— Нет мне расчёта покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

Тогда продавец предложил другие условия:

-Если по-твоему, цена лошади высока, то купи только её подковные гвозди. Лошадь же тогда получишь в придачу бесплатно. Гвоздей в подкове 6. За 1-ый гвоздь дай мне всего1/4 копейки, за третий 1 копейку и т.д.

Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 рублей. Так ли это?

Решение: Составим последовательность из 24 чисел (4копыта по 6 гвоздей)

1/4; ½; 1; 2; 2² ; 2³ ;….; 2²¹.

Данная последовательность является геометрической прогрессией

b₁= ¼; q=2.

Чтобы узнать заплаченную цену надо найти сумму этих чисел.

Возникает вопрос: нельзя ли вывести формулу для решения этой задачи в общем виде?

-Но рассмотрим сначала ещё одну задачу, так называемую «легенду о создателе шахмат»:

По преданию, индийский принц Сирам, восхищённый игрой, призвал к себе её создателя, учёного Сету, и сказал:

-Я желаю достойно наградить тебя за прекрасную игру. Я достаточно богат, чтобы исполнить любое твоё желание.

Сета попросил принца положить на первую клетку шахматной доски 1 зерно, на вторую 2 зерна, на третью 4 зерна и т.д.

Создалась проблемная ситуация: смог ли принц Сирам выполнить желание Сеты?

— Обе задачи на нахождение суммы n первых членов геометрической прогрессии.

2). Вывод формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Пусть надо найти S_n

S_n = b₁ + b₂ + …b_n | * q

q * S_n = q*b₁+ q*b₂+…q*b_n

q * Sn = b₂ + b₃ + …b_n + q*b_n

Найдём разность:

q*S_n — S_n = S_n * (q-1)

q*S_n — S_n = (b₂+ b₃+ …+b_n+ q*b_n ) – (b₁+b₂+…+b_n) = qb_n – b₁

S_n*(q – 1) = q*b_n – b₁, при q1

S_n = (q*b_{n –} b₁)/ (q-1)

Подставим вместо b_n =b₁*q^n-1, получим: S_n = ((b₁ *(qⁿ-1)/ (q-1)

Мы получили формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии при q1.

— А если q=1? (тогда все члены прогрессии равны b₁, а сумма n первых членов

Sn= n* b₁)

3.Закрепление знаний.

1) Решение задачи Магницкого:

S₂₄= *(2²⁴ — ): (2-1) = 2²²— 420 руб.

2. Решение задачи «Легенда о шахматах»:

S₆₄= 1*(2⁶⁴ – 1) : (2-1) = 2⁶⁴ – 1 = 18 446 744 073 709 551 615

18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 биллиона (миллиарда) 709 миллионов 551 тысяча 615.

Такого количества зерна ещё не собрано человечеством до настоящего времени.

2. Письменная работа на доске и в тетрадях.

№ 408 а) 15,5 = S₅ ; б) 624,8 = S₅ .

№ 409 а) S₆ = -63 ; б) S₆ = 147;

в) S₆ = -63 ; г) S₆ = .

4. Исторические сведения.

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были ещё у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.

В древнеегипетском папирусе Ахмеса (ок. 2000 до н.э.) приводится такая задача: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялась меры».

В этой задаче речь идёт об арифметической прогрессии. Условие задачи, пользуясь современными обозначениями, можно записать так: S₁₀=10, d=, найти а₁, а₂,…, а₁₀.

О прогрессиях и их суммах знали древнегреческие учёные. Так, им были известны формулы суммы n первых членов последовательности натуральных, чётных и нечётных чисел.

Архимед ( III в. до н.э.) для нахождения площадей и объёмов фигур применял «анатомический метод», для чего ему потребовалось находить суммы членов некоторых последовательностей. Он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел:

1²+2²+3²+…+n² = n(n+1)(2n+1),

Показал, как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

1+++… .

Отдельные факты об арифметической и геометрической прогрессиях знали китайские и индийские учёные.

Термин «прогрессия» (от латинского progressio, что означает «движение вперёд») был введён римским автором Боэцием (VI в.) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим учёным Диофантом (III в.). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида «Начала» (III в. до н.э.) Правило отыскания суммы членов произвольной прогрессии встречаются в «Книге абака» Л.Фибоначчи (1202). Общее правило для суммирования любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии даёт Н.Шюке в книге «Наука о числах» (1484).

5. Итог урока.

Домашнее задание : П19, №410, 412 а)б).

Оценки за урок.

Используемая литература.

1. Алгебра: учебник для 9 класса средней школы. Ю.Н.Макарычев,

Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; Под ред.

С.А.Теляковского. М:Просвещение-1990г.

2. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин. Математическая шкатулка. Просвещение-1984 г.

3. С.Н.Олехник, Ю.В.Нестеренко, М.К.Потапов. Старинные занимательные задачи. Москва «Наука»-1988 г.