Конспект урока по алгебре в 10 классе «Отбор корней в тригонометрических уравнениях»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«КАЧУЛЬСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»

План-конспект урока

математики в 10 классе по теме

«Отбор корней в тригонометрических уравнениях»

Составитель:

учитель математики

высшей квалификационной категории

МБОУ «Качульская СОШ»

Каратузского района

Красноярского края

Кармышева Т.И

Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации изученного материала.

Цель урока:

• совершенствовать навыки решения простейших тригонометрических уравнений;

• закрепить умение выполнять отбор корней тригонометрического уравнения на числовой окружности, перебором по параметру и с помощью решения неравенства;

• стимулировать учащихся к овладению рациональными приёмами и методами решения тригонометрических уравнений;

• развивать логическое мышление; умение выделять главное, проводить обобщение, делать верные логические выводы;

•  воспитывать качества характера: настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемной ситуации.

Ход урока

I. Организационный момент.

Проверка готовности к уроку, приветствие.

II. Актуализация опорных знаний (учащимся предлагается заполнить третий столбец таблицы: формулы решения простейших тригонометрических уравнений).

Значения

а

Уравнение	Формулы решения уравнений
	sinx=a
	sinx=a	уравнение решений не имеет
а=0	sinx=0
а=1	sinx= 1
а= -1	sinx= -1
	cosx=a
	cosx=a	уравнение решений не имеет
а=0	cosx=0
а=1	cosx= 1
а= -1	cosx= -1
	tgx=a
	ctgx=a

III.Практическая работа по выполнению заданий стандартного типа и упражнений, требующих переноса знаний в изменённые ситуации

№1 а) Решите уравнение 2sin³x-2sinx+cos²x=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; — 2π].

Решение.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π]

Получим числа: — 7π/2; -19π/6;-5π/2.

Ответ: а)π/2+πn, π/6+2πn, 5π/6+2πn, nЄZ; б) — 7π/2, -19π/6,-5π/2.

№2 а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение:

а)
sin 2x = cosx
2sin x cos x = cos x
cos x (2sin x – 1) = 0
cos x = 0                       или            2sin x – 1 = 0 
                                   

Отбор корней 

Ответ: ,  , ;   .

№3 а) Решите уравнение .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Решение:
Сделаем замену , получим квадратное уравнение  корнями которого являются числа и  Уравнение  не имеет решений, а из уравнения  находим искомые корни:

 или , .

Найдем корни, принадлежащие отрезку  Решим неравенства:

  или ;

 

Соответствующие найденным значениям параметров корни:   и .

Ответ:
.
Заданному отрезку принадлежат корни
 и 

№4 а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение:
а) Запишем уравнение в виде

Значит, или sin x = 0, откуда , ,
или cos x = -0,5 откуда
, .

б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку .

Получим числа: ,  и .

Ответ:
а)
, ; , ;
б)
,  и 

№5  а)Решите уравнение 3sin2x = 10 cos²x – 1

б) Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение: Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой двойного угла для синуса. Получим уравнение

6sinxcosx = 10cos²x – sin²x – cos²x, т.е. sin²x – 9cos²x+ 6sinxcosx = 0

, т.к. в противном случае sinx = 0, что не может быть, так как не существует углов, для которых одновременно синус и косинус равные нулю в виду sin²x+ cos²x = 0.

Разделим обе части уравнения на cos²x получим 

tg²x+ 6tgx – 16 = 0

Пусть tgx = t, тогда t²+ 6t – 16 = 0, t₁ = 2,t₂ = –8.

tgx = 2 или tg = –8; 

Рассмотрим каждую серию отдельно, находя точки внутри промежутка , и по одной точке слева и справа от него.

1) .

Если к=0, то x=arctg2. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если к=1, то x=arctg2+. Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если к=2, то . Ясно, что данный корень не принадлежит нашему промежутку.

Мы рассмотрели одну точку справа от данного промежутка, поэтому к=3,4,… не рассматриваются.

Если к = –1, получим  – не принадлежит промежутку .

Значения к = –2, –3,…не рассматриваются.

Таким образом, из данной серии два корня принадлежат промежутку 

Это 

2) 

Аналогично предыдущему случаю убедимся, что при п = 0 и п = 2, а, следовательно, при п = –1, –2,…п = 3,4,… мы получим корни, не принадлежащие промежутку . Лишь при п=1 получим , принадлежащий этому промежутку.

Ответ: 

 IV. Самостоятельная работа

Решите уравнения:

1. а) 2cos²x+(2-√2)sinx+√2-2=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].

Решение.

a) 2(1-sin²x)+2sinx-√2sinx+√2-2=0; 2-2sin²x+2sinx-√2sinx+√2-2=0; -2sinx(sinx-1)-√2(sinx-1)=0;

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].

Получим числа: -11π/4;-9π/4.

Ответ: а) π/2+2πn, -π/4+2πn, -3π/4+2πn, nЄZ; б) -11π/4, -9π/4.

2. а) Решите уравнение cos(3π/2-2x)=√2sinx.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2]

Решение.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].

Получим числа: 13π/4;3π;4π.

Ответ: а)πn, ±3π/4+2πn, nЄZ; б) 13π/4,3π, 4π.

3. а) Решите уравнение1/tg²x – 3/sinx+3=0.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2]

Решение.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-4π;-5π/2].

Получим числа: —19π/6;-7π/2;-23π/6.

Ответ: а)π/2+2πn, π/6+2πn, 5π/6+2πn, nЄZ; б)—19π/6,-7π/2,-23π/6. Выполненная самостоятельная работа сдается учителю на проверку.

V. Подведение итогов урока. Рефлексия. Задание на дом.

1) № 149 (учебник Алгебра и начала анализа под редакцией. А.Н. Колмогорова).

2) Решить уравнение: (cos x – sin x) =0

Литература

1. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа, учебник для 10-11 классов общеобразовательной школы, «Просвещение»,2010г.

2. Попов М.А. Контрольные и самостоятельные работы по математике -10 класс, «Экзамен»,2012г.

3. Ивлев Б.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа 10 класс, «Просвещение», 2008г.

4. Максимовская М.А. Тесты. Математика 5-11 классы, «Олимп», 2008г

5. КорешковТ.А. Математика. ЕГЭ. Типовые тестовые задания, «Экзамен», 2005-2010г.

6. Креславская О.А. Математика. ЕГЭ. Сдаём без проблем, «Эксмо», 2012г.

7. Денищева Л.О. Математика. ЕГЭ-2009-2013, «Интеллект —

Центр», 2008-2012г.