Разработка урока алгебры 9 класс
по теме : «Арифметическая и геометрическая прогрессии».
Тема урока: Прогрессио- движение вперед.
Цель урока: С помощью дидактической игры – стимулировать учащихся к математической деятельности.
Умения и навыки: Знать определения арифметической и геометрической прогрессии.
Уметь записывать в общем виде рекуррентную формулу, с помощью которой задаются прогрессии. Знать формулы n-го члена, используя их решать задачи.
Метод обучения: Создание эмоционально – нравственных ситуаций, методом познавательных игр.
Задачи: Развитие познавательной активности и самостоятельности, формирование качеств творческой личности.
Описание хода урока:
Класс разбивается на две команды.
Первое соревнование – проверка домашнего задания.
1тур.
1 команда – Определения прогрессий, формулы n-го члена.
2 команда – Определение среднего арифметического и геометрического члена. Характеристические свойства прогрессий.
1 команда.
Мы изучили две прогрессии арифметическую и геометрическую. Вспомним их определения (сразу оба).
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену,
сложенному с одним и тем же числом
умноженному на одно и тоже число.
называетсяарифметической прогрессией.
геометрической
Обратите внимание ,насколько похожи определения. Еще раз убеждаемся в том, что операции сложения и умножения имеют много общего.
2 команда.
Родство прогрессий становится еще более заметным, если вспомнить их характеристические свойства.
Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго,
геометрической
является средним арифметическим
геометрическим
предшествующего и последующего членов.
1 команда.
Формулы n-го члена прогрессий
= + d (n – 1) = *
Зная одну формулу, можно легко получить другую – надо лишь сложение заменить умножением и умножение заменить возведением в степень, и из формулы для арифметической прогрессии получится формула для геометрической прогрессии.
2 команда.
Характеристические свойства прогрессий:
= + = *
2
Сложение заменяем умножением, деление на 2 на извлечение корня второй степени.
2 тур.
1 команда.
Сами по себе прогрессии известны так давно, что конечно , нельзя говорить о том, кто их открыл. Это и понятно уже натуральный ряд 1,2,3,4,…,n,.. есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью равной 1.
О том как давно была известна геометрическая прогрессия, косвенным образом свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат. Рассказывают , что индийский принц Сирам рассмеялся , услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат. За 1 клетку шахматной доски – 1 зерно, за вторую — два, за третью – четыре, за четвертую – восемь и т.д. до 64-ой.
Нетрудно сосчитать, используя известную нам формулу суммы n членов геометрической прогрессии, что
= -1=18446744073709551615 = 18,5*
Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то пожалуй лет за 5 он бы смог рассчитаться с просителем. Как вы считаете стоило ему смеяться?
На связь между прогрессиями первым, по видимому обратил внимание великий Архимед (ок.287-212 лет до н.э.). Вы конечно, знаете из физики о законе Архимеда. Но он еще и замечательным математиком, положившим начало многим разделам математики, которые были развиты лишь в 17 веке.
2 команда.
Очень может пригодиться при решении многих задач – знать формулу
= ( n+1)*n
2
для вычисления суммы n натуральных чисел и формулу
=
для вычисления суммы n последовательных нечетных чисел.
Обе эти последовательности есть частные случаи арифметической прогрессии. Заметьте , что вторая формула имеет изящный геометрический смысл.
|
|
| |
| 5 |
|
|
| 3 |
| |
|
|
| 1 |
На рисунке обозначен первый квадрат .Его как бы охватывают 3 таких же квадрата, образуя вместе с первым, новый квадрат, состоящий из 4-х квадратов .Его ,в свою очередь , как бы буквой Г охватывает ровно 5 –квадратов, Получается новый квадрат, состоящий уже из 9 квадратов и т. д.
Красиво?
А с первой формулой связана одна из страниц биографии К.Ф.Гаусса. Однажды на уроке в третьем классе, где учился Гаусс, учитель дал задание сложить все числа от 1 до 1оо. Маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100=101, 2+99=101,3+98=101 и т. д .( в нашей формуле n+1) , сообразил он и то , что таких пар будет = 50 ( в формуле ). Осталось умножить 101*50, что мальчик сделал в уме. Свои вычисления он закончил , до того как учитель подиктовал задание.
Для математика важно получив задачу – подумать – а нет ли иного метода решения, стоит ли идти проторенным путем, не поискать ли свой ,новый, лучший, оригинальный?
3 тур.
Предлагается разделить страницу тетради на две части и слева написать «Арифметическая прогрессия» , а справа – «Геометрическая прогрессия».
На доску справа проецируются задача, приводящая к арифметической прогрессии и вопросы и задания ,которые необходимо выполнить.
На доску слева проецируются задача ,приводящая к геометрической прогрессии и задания ,которые необходимо выполнить.
Задача.
1.Записать последовательность в соответствии с условием задачи
2.Записать эту же последовательность с помощью таблицы.
3.Найти разность d между предыдущим и последующим членами последовательности в первой задаче и частное q от деления последующего члена на предыдущий во 2-ой задаче.
4.Задать эти последовательности рекуррентным способом.
5.Найти среднее геометрическое (Арифметическое) чисел 2 и 8. Записать найденное число с данными в порядке возрастания . Образуют ли эти числа арифметическую (геометрическую) прогрессию.
6.Справедлива ли такая зависимость для трех последовательных членов рассматриваемых последовательностей .
Запись ответов производится учащимися, которые поочередно вызываются к доске от каждой команды:
1) 5;7;9;11;13;15;17. 1) 1;2;4;8;16;32;64.
2) 2)
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |||||||
a | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | ||||||
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ||||||
a | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
3) а2—а1=2 , а3—а2=2… 3) b2:b1=2 , b3:b2=2…
an+1-an=d bn+1:bn=q
4) a2=a1+2 , a3=a2+2… 4) b2=b1*q , b3=b2*q
an+1=an+d bn+1=bn*q
5) =5 2;5;8 5) =4 2;4;8
6)=7 , =9… 6) =2 , =4…
Отдельно, капитаны команды решают более сложные задания.
№433
Найти все члены арифметической прогрессии ( ), обозначенные буквами
a1 ; a2 ; -19 ; -11,5 ; a5… a1 ; -8,5 ; a3 ; -4,5 ; a5 ; a6…
d=-11,5+19=7,5 d=-6,5+8,5=2
a1=-26,5-7,5=-34 a1=-8,5-2=-10,5
a2=-19-7,5=-26,5 a3==-=-6,5
a5=-11,5+7,5=-4 a5=-4,5+2=-2,5
a6=-2,5+2=-0,5
Далее команды работают по учебнику.
1к. №446(а) 2к. №446(б)
Найдите сумму ,слагаемыми которой являются последовательные члены арифметической прогрессии .
2+6+10+…+198 95+85+75+…+(-155)
d=6-2=4. d=85-95=-10.
n=+1 an=a1+d(n-1)
n=+1=50. n==25.
S50==5000. S25==-750.
В конце урока подводятся итоги и выставляются оценки .
Д/3. № 380 и 401 составить аналогичные задачи и решить их.
Школа – лицей №20 имени А.С.Пушкина
Методическая разработка урока по алгебре 9 класс
по теме : «Арифметическая и геометрическая прогрессии».
Тема урока:
Прогрессио- движение вперед.
Учитель математики: Ортман Татьяна Павловна.
г.Атырау
2015г.