Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Мурманской области «Мурманский колледж экономики и информационныхтехнологий» (ГАПОУ МО «МКЭиИТ»)
Конспект факультативного занятия по математике в 10 классе
Основная теорема о квадратных трёхчленах и её применение
Подготовила: Преподаватель математики
Конурова Алёна Николаевна
Мурманск, 2015 г.
Основная теорема о квадратных трёхчленах и её применение
(Конспект факультативного занятия по математике в 10 классе)
Конурова Алёна Николаевна
преподаватель математики
ГАПОУ МО «Мурманский колледж
экономики и информационныхтехнологий»
город Мурманск
Урок. Основная теорема о квадратных трёхчленах и её применение.
Цели урока: ознакомить ребят с новым материалом
Задачи:
образовательная: объяснить применение рассматриваемых задач;
воспитательная: привитие интереса к изучаемому предмету
развивающая: формирование навыков самостоятельной деятельности, выработка внимания.
Тип урока: урок овладения новыми знаниями.
Оформление доски: На доске указаны дата, тема занятия, задания для выполнения в классе, домашнее задание, некоторый теоретический материал.
План урока:
-
Организационный момент – 2 мин.
-
Вступительное слово – 5 мин.
-
Объяснение нового материала – 20 мин.
-
Решение задач – 10 мин.
-
Подведение итогов – 5 мин.
-
Домашнее задание – 3 мин.
Ход урока:
-
Организационный момент. Учитель приветствует детей, сажает на места, объявляет цель урока. Учитель: «В технике и естествознании, на производстве и в быту встречается особый тип математических задач. Это – так называемые «задачи на максимум и минимум». Вот примеры таких задач:
1) Из круглого бревна выпилить прямоугольную балку так, чтобы получилось наименьшее количество отходов.
2) Из имеющихся досок можно построить забор длиной в 200 метров. Требуется огородить им прямоугольный участок земли, имеющий наибольшую площадь.
3) На стене висит картина. На каком расстоянии от стены она видна под наибольшим углом?
4) На какой высоте надо повесить лампу, чтобы получить наибольшую освещённость?
Во всех этих задачах, несмотря на их различие, мы находим общие черты: всюду речь идёт о том, как при разнообразных возможностях использования наличных средств добиться наилучшего эффекта. Нет надобности говорить о том, насколько важно умение решать такие вопросы. В математике созданы очень сильные и общие способы для решения подобных задач; изучаются они в дифференциальном исчислении.
Однако во многих случаях удаётся решить такую задачу и без привлечения сложного аппарата дифференциального исчисления, а пользуясь лишь простыми средствами элементарной алгебры. В этой книжке как раз и излагается несколько способов решения задач на максимум и минимум без помощи высшей математики. (*)
Если мы положим, что , то увидим, что . Если мы дадим другое значение, например , то получим . Вообще мы можем дать величине любое значение, какое только нам захочется, но когда уже примет это выбранное нами значение, то у примет своё значение, так сказать, «автоматически», ибо оно будет определяться равенством (*) и уже не будет зависеть от нашего произвола. Такое положение вещей математики характеризуют, говоря, что является функцией от . Сама величина называется при этом независимой переменной. Поставим вопрос о том, есть ли среди значений, которые принимает функция [определяемая равенством (*)], самое большое? Легко видеть, что такого самого большого из значений не существует. В самом деле, если независимая переменная будет принимать значения ,то соответствующие значения функции будут откуда видно, что наибольшего значения у нет. Совсем другой ответ мы получим, если спросим себя, имеется ли среди значений функции самое меньшее. В самом деле, как показывает равенство (*), функция является суммой двух слагаемых: и 7. Второе из них, т. е. 7, есть некоторое постоянное число, не зависящее от значения х . Что же касается первого слагаемого 2х 2 , то оно, очевидно, ни при каком значении х не может оказаться отрицательным,, а другое никогда не делается отрицательным, но становится равным нулю, когда . Поэтому наша функция имеет наименьшее значение , достигающееся ею при .
Что касается наибольшего значения нашей функции, то его не существует, в чём легко убедиться, полагая, например, х1 = 13, х2 = 103, х3 = 1003 Соответствующие значения функции у будут у1 = 275, у2 = 200075, у3 = 2000075. Аналогично решается пример у = 3х2+24х+50 Опуская пояснения, которые понятны сами собой, имеем: у = 3(х2+8х)+50; у = (х2+8х+16)+50-48, у = 3(х+4)2 Стало быть, функция у примет наименьшее значение при , причём это наименьшее значение есть Вот ещё один пример: у = 5х2-50х+39. Здесь х0 = 5, (через мы постоянно будем обозначать то значение независимой переменной, которому отвечает наименьшее значение функции). 3 . Не следует думать, что всякий квадратный трёхчлен (так называется рассматриваемый вид функции) имеет наименьшее и не имеет наибольшего значения. Например, у функции у = -3х2+8 очевидным образом имеется именно наибольшее, или, как говорят, максимальное, значение , принимаемое ею при х0 = 0. Напротив, наименьшего значения у неё нет. Точно так же у функции у = -4х2+40х-73 нет наименьшего, но есть наибольшее значение, в чём мы убеждаемся с помощью следующих преобразований: у = -4(х2-10х)-73; у = -4(х2-10х+25)-73+100; у = -4(х-5)2+27, откуда при получается Итак, некоторые квадратные трёхчлены имеют наименьшее, но не имеют наибольшего значения, другие же, наоборот, имеют наибольшее и не имеют наименьшего значения. Внимательный читатель, вероятно, уже заметил, что характер трёхчлена определяется знаком его старшего коэффициента. Чтобы установить это с полной строгостью, рассмотрим вопрос в общем виде. Пусть имеем квадратный трёхчлен Здесь коэффициенты могут быть любыми вещественными числами: положительными и отрицательными и да обращаться в нуль. Однако старший коэффициент а во всяком случае должен быть отличен от нуля, ибо иначе не содержал бы вовсе члена с и не был бы квадратным трёхчленом. Преобразуем у следующим образом: y =a Полагая для краткости получим окончательно: Важно заметить, что есть некоторое постоянное число, полностью определяемое коэффициентами и совершенно не зависящее от значений независимой переменной . Различим два случая. 1) Если , то первое слагаемое никогда не делается отрицательным, но при обращается в нуль. Поэтому функция имеет наименьшее значение, равное :и не имеет значения наибольшего. 2) Если , то по тем же соображениям оказывается, что,причём это значение достигается при,а не существует. Заметим, что как наименьшее, так и наибольшее значение функции называется её экстремальным («крайним») значением. Поэтому всё сказанное можно резюмировать в виде следующей теоремы, являющейся для нас основной. Теорема. Квадратный трехчленимеет экстремальное значение, принимаемое им при. Это значение оказывается наименьшим, если , а наибольшим, если . Если существует, то не существует, и наоборот. Заметим ещё, что, как мы видели выше, это экстремальное значение всегда равноили, подробнее, . Однако этого последнего равенства запоминать не нужно, потому что ведь ото есть значение нашего трёхчлена при . Значит, достаточно подставить в трёхчлен число вместо , чтобы получить величину . Решение задач. Один из учеников выходит к доске и решает. Остальные выполняют задания на местах и сверяют свои ответы с доской. Необходимо найти максимальное или минимальное значение данной функции. у=3х2-12х+8 Решение. Поскольку коэффициент а больше нуля, то мы будем находить умин . Подставляя в формулу , получим: Теперь необходимо данное значение =2 подставить в начальную функцию, получим: у=3*4-12*2+8=-4 Ответ: умин=-4 у=-2х2+8х-3 Решение. Поскольку коэффициент а меньше нуля, то мы будем находить умакс . Подставляя в формулу , получим: Теперь необходимо данное значение =2 подставить в начальную функцию, получим: у=5 Ответ: умакс=5 у=2х2-20х+17 Решение. Поскольку коэффициент а больше нуля, то мы будем находить умин . Подставляя в формулу , получим: Теперь необходимо данное значение =-5 подставить в начальную функцию, получим: у=-33 Ответ: умин=-33 Подведение итогов. Сообщаются оценки, полученные на этом уроке. Ответить на вопросы: Чем занимались на уроке? Для чего? Домашнее задание. Найдите максимальное или минимальное значение данной функции. у=х2-16х+4 Решение. Поскольку коэффициент а больше нуля, то мы будем находить умин . Подставляя в формулу , получим: Теперь необходимо данное значение =8 подставить в начальную функцию, получим: у=-60 Ответ: умин=-60 у=-3х2+9х-4 Решение. Поскольку коэффициент а меньше нуля, то мы будем находить умакс . Подставляя в формулу , получим: Теперь необходимо данное значение подставить в начальную функцию, получим: у = Ответ: умакс = с. у=-2х2+10х-3 Решение. Поскольку коэффициент а меньше нуля, то мы будем находить умакс . Подставляя в формулу , получим: Теперь необходимо данное значение подставить в начальную функцию, получим: у= Ответ: умакс=.
Список использованной литературы
Бачурин В. А. Задачи по элементарной математике и началам математического анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 712 с. Быков А. А. Тематические тесты по математике. Для учащихся 10-х классов М. Изд. дом ГУ ВШЭ, 2006 Натансон И.П., Простейшие задачи на максимум и минимум, популярные лекции по математике, Москва, 2011г.
1
2