Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

г. Мурманска

лицей №4

Обобщающее занятие (9 класс)

Тема: Комбинаторика. Вероятность. Статистика.

Учитель: Подушкина О. Ю.

Цель: обобщение вероятностно-статистических представлений учащихся за курс основной школы.

Задачи:

• повторить основные правила комбинаторики, теории вероятностей и статистики

• отработать умения решать задачи, связанные с конкретной жизненной ситуацией

Структура: рассмотрение материала по блокам

1 блок: Случайные события и операции над ними

2 блок: Комбинаторика

3 блок: Понятие вероятности события (классическое, геометрическое, статистическое)

4 блок: Статистика

Ход занятия:

Материал 1-го и 2-го блоков вместе с задачами рассматривается устно по презентации, теоретический материал 3-го и 4-го блоков также предполагается рассмотреть устно. Задачи 3-го и 4-го блоков лучше предложить в качестве практической работы с последующей проверкой по готовому решению. Учащихся, справившихся с практической работой самостоятельно и без ошибок (частично с ошибками), следует оценить по бальной системе.

Тезисы и вопросы 1-го блока

1. Опыт различных исходов

2. Исходы данного опыта — элементарные события

3. Множество всех исходов опыта — множество элементарных событий

4. Какое событие называется случайным?

Случайное событие, произошедшее в некотором опыте — это любое подмножество его элементарных событий.

5. Какие виды событий вы знаете?

• достоверное событие (обозначение: )

• невозможное событие ( обозначение: )

• случайное событие (обозначение: )

6. Какие cобытия называются несовместными? Совместными?

Несовместными — если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании, и совместными, если появление одного из них не исключает появление других событий в одном и том же испытании.

7. Равновозможные события?

Это такие события, если в результате опыта ни одно из них не является более возможным, чем другое.

8. Событие, противоположное событию , это такое событие , которое происходит тогда и только тогда, когда событие не происходит

9. Сумма двух событий и — это событие , состоящее в появлении в этом испытании хотя бы одного из событий или

10. Произведение двух событий и — это событие , состоящее в появлении в этом испытании обоих событий и одновременно

11. Разность двух событий и — это событие , состоящее из всех элементарных событий, входящих в и не входящих в

Задачи 1-го блока (устное обсуждение)

№1. Определите, что в предложенных ситуациях является опытом, а что — случайным событием?

1) Баскетболист бросает мяч. Ответ: бросок – опыт, попадание в корзину – случайное событие

2) Стрелок стреляет по мишени из 10 концентрических колец. Ответ: выстрел – опыт, попадание в определённую область – случайное событие

3) В ящике находятся шары 3 цветов. Ответ: Извлечение наудачу шара – опыт, появление шара определённого цвета – случайное событие

№2. Определите вид события.

1) При температуре воздуха 20º С и нормальном давлении вода в стакане будет в виде жидкости. Ответ: достоверное событие

2) При температуре воздуха 20º С и нормальном давлении вода в стакане будет в виде льда. Ответ: невозможное событие

3) Выпадение герба при одном броске монеты. Ответ: случайное событие

№3. Какие события являются в предложенных ситуациях совместными, а какие несовместными?

1) Брошена монета. Совместны ли события появление «герба» и появление «решки»? Ответ: события «герб» и «решка» — несовместные

2) Выбирают одну карту из колоды. Совместны ли события «эта карта – туз» и «эта карта – бубновая»? Ответ: совместные

3) Бросили один раз игральный куб. Совместны ли события «выпало 3 очка» и «выпало нечётное число очков»? Ответ: совместные

№4. Какие условия необходимы, чтобы:

1) при одном броске монеты события «герб» и «решка» стали равновозможными? Ответ: если монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и чеканка не влияет на выпадение сторон

2) выпадение 1 2, 3, 4, 5 или 6 очков при одном броске игральной кости стали равновозможными событиями? Ответ: если кость изготовлена из однородного материала, имеет форму куба и нанесённые на грани точки не влияют на выпадение сторон

№5. Являются ли противоположными события в предложенных ситуациях?

1) Ученик сдаёт зачёт. События «сдал зачёт» и «не сдал зачёт»?

Ответ: противоположные

2) Из колоды карт вынимают наугад одну карту. События «карта бубновая» и «карта не бубновая»? Ответ: противоположные

3) Бросают две монеты. События «выпали два герба» и «выпали две решки»? Ответ: не являются противоположными, так как могут выпасть еще «герб и решка»

№6. На каких рисунках (геометрическая интерпретация действий со случайными событиями) изображена сумма, произведение, разность?

Ответ: Рис. 1 – сумма, Рис. 2 – произведение, Рис. 3 – разность

Материал 2-го блока

Комбинаторика – область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов данного множества.

Основные правила комбинаторики:

• Правило произведения (умножения): если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то два элемента (пару) А и В можно выбрать n · m способами.

• Правило умножения верно и для любого конечного числа объектов. Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если 1-й элемент можно выбрать n₁ способами, после чего 2-й элемент можно выбрать из оставшихся n₂ способами, затем 3-й –n₃ способами и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны k элементов, равно n₁ · n₂ ·…· nk .

Основные элементы комбинаторики:

• Размещение

Это любое упорядоченное подмножество m из элементов множества n.

• Перестановки (). Если m = n, то эти размещения называются перестановками.

• Сочетания () – это любое подмножество из m – элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n – различных элементов.

Следствие

Число сочетаний из n элементов по n – m равно число сочетаний из n элементов по m, т.е.

Замечание

В размещении учитывается порядок элементов при выборе, а в сочетаниях – не учитывается

Способы решения комбинаторных задач, которые сводятся к подсчету возможных вариантов перестановок элементов:

— с помощью дерева возможных вариантов

— методом перебора

— по правилу умножения

— по формулам

Задачи 2-го блока (устное обсуждение)

№1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5 при условии, что цифры не должны повторяться?

Способ решения: дерево возможных вариантов

Ответ: 6 чисел.

№2. Сколькими способами можно рассадить маму, папу и Емелю в кинотеатре на места 1, 2 и 3?

Решение:

1 место

2 место	3 место
Мама	Емеля	Папа
мама	Папа	Емеля
Папа	Мама	Емеля
Папа	Емеля	Мама
Емеля	Папа	Мама
Емеля	Мама	Папа

Ответ: 6 способами.

№3. Сколькими способами можно посадить три дерева (дуб, березу, клен) в три подготовленные лунки?

Для решения этой задачи можно использовать правило умножения: 3∙2∙1=6.

Ответ: 6.

№4. Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?

Решение:

Используем формулу для сочетания элементов.

С =

Ответ: 56.

Тезисы 3-го блока

Традиционные три «определения» вероятности:

• Классическое (отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов)

• Статистическое (предел относительной частоты при неограниченном увеличении числа испытаний)

• Геометрическое (отношение длин, площадей или объёмов двух областей: благоприятствующей, в которой лежат интересующие нас исходы, и общей, в которой лежат все возможные исходы)

I

Вероятностью (Р) события называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов

где — общее количество равновозможных исходов опыта, — количество благоприятных исходов.

Свойства вероятности:

1) Вероятность достоверного события равна единице.

2) Вероятность невозможного события равна нулю.

3) Вероятность случайного события – число, заключённое между нулем и единицей.

4) Если вероятность события равна нулю (единице), то оно невозможное (достоверное).

Теорема о вероятности противоположного события: если события и противоположные, то .

II

Коротко: вероятность попадания точки в область.

Для применения формулы геометрической вероятности необходимо, чтобы все возможные исходы опыта были сосредоточены в конечной области длиной , площадью или объёмом , а возможность «выбора» каждой точки из этой области была бы одинакова для всех точек.

в зависимости от того, где лежат точки, соответствующие исходам опыта – на линии, на плоскости, в трёхмерном пространстве.

III

Для введения статистического определения используют понятие относительной частоты события.

Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в которых событие появляется, к общему числу фактически произведённых испытаний.

, где — число появления события , — общее число испытаний.

Замечания:

• в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней

• вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта

Задачи 3-го блока

№1. Из колоды в 36 карт наугад вынимается одна карта. Какова вероятность, что эта карта: 1) шестёрка треф; 2) семёрка; 3) карта бубновой масти; 4) король красной масти; 5) карта чёрной масти с чётным числом?

Решение.

Всего равновозможных исходов , так как каждая карта может быть вынута.

1) Пусть событие — «вынутая карта – шестёрка треф», тогда и ;

2) — «вынутая карта – семёрка», тогда (есть 4 разные масти) и ;

3) — «вынутая карта – король красной масти», тогда и ;

4) — «карта – бубновой масти с числом», тогда (это 6,7,8,9 и 10) и ;

5) — «червовой масти с чётным числом»; (это 6, 8 или 10) и .

№2. Даша дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков у неё выпало 2 очка.

Решение.

Всего имеется 5 равновозможных исходов, так как 8 очков в сумме могут выпасть только в следующих вариантах: 2+6, 6+2, 3+5, 5+3, 4+4, то есть . Благоприятных исходов всего 2, это исходы 2+6 и 6+2, то есть и .

№3. Катя дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков у неё выпало 5 очка.

Решение.

Всего имеется 5 равновозможных исходов, так как 6 очков в сумме могут выпасть только в следующих вариантах: 1+5, 5+1, 2+4, 4+2, 3+3, то есть . Благоприятных исходов всего 2, это исходы 1+5 и 5+1, то есть и .

№4. На соревнования по метанию ядра приехали 4 спортсмена из Чехии, 5 из Сербии и 3 из Португалии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий пятым, будет из Португалии.

Решение.

Всего приехало 4+5+3=12 спортсменов, — равновозможных исходов. На 5 месте может быть каждый, но благоприятный — исход, когда спортсмен из Португалии (их 3), на остальные 11 мест есть 11! Способов размещения. Тогда и .

№5. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, абонент забыл, в какой последовательности идут три последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые четыре цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр 1, 5 и 9. Какова вероятность, что абонент набрал правильный номер?

Решение.

Исходы – перестановки из 3 различных элементов, то есть . Событие — искомое, , так как правильный набор только один, тогда .

№6. Дано: см, см, см. На отрезке случайным образом отмечается точка . Какова вероятность того, что точка попадает на отрезок: 1) ;

2) ; 3) ; 4) ; 5) ?

Решение.

Исходом являются попадание точки на отрезок, причём точек на отрезке конечной длины бесконечно много и точка может попасть в любую точку отрезка с равной возможностью. Итак, имеем бесконечно много равновозможных исходов. Поэтому задачу можно решить, используя формулу геометрической вероятности.

1) Пусть — «точка попадает на отрезок »; длина отрезка см, а длина всего отрезка см, тогда .

2) Пусть — «точка попадает на отрезок »; длина отрезка см, тогда .

3) Пусть — «точка попадает на отрезок »; длина отрезка см, тогда .

4) Пусть — «точка попадает на отрезок »; длина отрезка см, тогда .

5) Пусть — «точка попадает на отрезок »; тогда .

№7. Внутри квадрата со стороной 10 см выделен круг радиусом 2 см. Случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадёт в выделенный круг?

Решение.

Исходами являются все возможные точки, отмечаемые внутри квадрата со стороной 10см, все исходы равновозможны и их бесконечно много. Событиями являются попадания отмечаемой точки внутрь фигуры конечной площади, лежащей внутри квадрата. Вероятности таких событий находятся по формуле геометрической вероятности.

Пусть событие — «точка попадёт внутрь круга радиуса 2 см, лежащего внутри квадрата». Площадь круга равна , площадь квадрата равна . Тогда .

№8. Чтобы определить, какой цвет волос встречается в городе чаще, а какой реже, студенты за полчаса провели следующий эксперимент. Каждый выбрал свой маршрут и записывал по пути следования цвет волос каждого пятого встречного. Результаты были занесены в следующую таблицу:

Цвет волос

Брюнеты	Шатены	Рыжие	Блондины	Всего
Число людей	198	372	83	212	865

Оцените вероятность того, что выбранный наугад житель этого города будет:

а) шатеном;
б) рыжим;
в) не рыжим.

Решение.

а)

б)

в)

Материал 4 -го блока

• Сбор и анализ данных

• Перечислите формы хранения информации:

• Таблица

• Сводная таблица

• Интервальная таблица

• Электронная таблица

• Диаграммы (линейные, круговые, столбчатые)

• Прокомментируйте основные термины:

Новый термин

Простое описание	Более научный термин	Определение
Общий ряд данных	То, откуда выбирают	Генеральная совокупность	Множество всех в принципе возможных результатов измерения
Выборка	То, что выбрали	Статистический ряд	Множество результатов, реально полученных в данном измерении
Варианта	Значение одного из результатов измерения	Варианта	Одно из значений элементов выборки
Ряд данных	Значение всех результатов измерения, перечисленные по порядку	Вариационный ряд	Упорядоченное множество всех вариант
Кратность варианты	Количество повторений варианты в выборке
Объем выборки	Количество всех произведенных при выборке измерений
Частота варианты	Частота варианты = кратность варианты объем выборки

• Дайте определения числовым характеристикам выборки

1. Размах выборки – это разница между наибольшей и наименьшей вариантой.

2. Мода выборки – это наиболее часто встречающаяся ее варианта.

3. Среднее значение. Для нахождения среднего значения выборки следует: сложить все результаты, входящие в эту выборку и полученную сумму разделить на количество всех результатов.

4. Медиана– число ранжированного ряда, которое делит его пополам

• Графическое изображение информации:

1) Полигон частот (многоугольник) 2) Гистограмма частот

• Схема Бернулли: рассматривают независимые повторения одного и того же испытания с двумя возможными исходами, которые условно называются «успех» и «неудача». Требуется найти вероятность Р(k) того, что при n таких повторений произойдет ровно k успехов.

ТЕОРЕМА. Вероятность Р(k) наступления ровно k успехов в n независимых повторениях одного и того же испытания находится по формуле

Р(k) = С∙ р∙ q,

где р – вероятность «успеха» и q – вероятность «неудачи» в отдельном испытании.

Задачи 4-го блока

№1. Даны числа: 30, 56, 98, 48, 56, 52, 49, 54, 56, 76, 29, 21, 60, 50, 56, 39, 21. Составьте «паспорт» данных.

Варианта

21	29	30	39	48	49	50	52	54	56	60	76	90	=13(вариант)
Кратность	2	1	1	1	1	1	1	1	1	4	1	1	1	=17(объем выборки)
Частота
Размах	90-21=69
Мода	56
Среднее значение	== 49
Медиана	52

Решение:

№2. На уроке статистики ученики подсчитывали среднее значение своих четвертных оценок по математике. Для этого они составили таблицу и подсчитали среднее значение. Получилось 4,04. После урока одно число было стерто. Восстановите его.

Варианты

3	4	5
Кратность	7	10

Решение:

Обозначим число, которое нам нужно найти. Пусть это будет х. Зная формулу нахождения СЗ, применим ее: (7∙3 + 4∙10 + 5∙х)/(7+10+х)=4,04

Решив полученное нами уравнение получим, что х=8.

Ответ: 8.

№3. Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что:1) герб выпадет три раза; 2) герб выпадет один раз; 3) герб выпадет не менее двух раз.

Решение:

Итак, нас интересует событие A, когда выпадает герб. Вероятность этого события равна p = 0,5. Событию A противопоставляется событие «не A», когда выпадает решка, что случается с вероятностью q = 1 − 0,5 = 0,5. Нужно определить вероятность того, что герб выпадет k раз.

Таким образом, имеем: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Определим вероятность того, что герб выпал три раза, т.е. k = 3:

Теперь определим вероятность того, что герб выпал только один раз, т.е. k = 1:

Осталось определить, с какой вероятностью герб выпадет не менее двух раз. Основная загвоздка — во фразе «не менее». Получается, что нас устроит любое k, кроме 0 и 1, т.е. надо найти значение суммы X = P₆(2) + P₆(3) + … + P₆(6).

Заметим, что эта сумма также равна (1 − P₆(0) − P₆(1)), т.е. достаточно из всех возможных вариантов «вырезать» те, когда герб выпал 1 раз (k = 1) или не выпал вообще (k = 0). Поскольку P₆(1) нам уже известно, осталось найти P₆(0):

Ответ:1) 5/16; 2) 3/32; 3) 57/64.

Подведение итогов занятия.

Литература:

1.Е.А.Бунимович, В.А.Булычёв «Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы». Лекции Педагогического университета «Первое сентября».

2.А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов «События. Вероятности. Статистическая обработка данных». 7-9 классы.

3.Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк «Элементы статистики и теории вероятности».

4.Лекции преподавателя МГГУ Локоть Н. В.

5. Сайт http://cheba64.narod.ru