Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Юдинская основная общеобразовательная школа

Подгоренского муниципального района

Воронежской области

«СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ»

(Факультативное занятие по математике

для учащихся 7-9 классов)

Разработал:

учитель математики

Сергиенко В.А.

с. Юдино

2012г.

ТЕМА: «Система счисления». «Перевод чисел из одной системы счисления в другую». «Арифметические операции в позиционных системах счисления».

«Система счисления».

Цели урока:

  1. Образовательная: Познакомить учащихся с системой счисления. Понятие позиционной и непозиционной системы счисления. Познакомить с арифметическими выражениями в системе счисления.

  2. Развивающая: Формирование представления о арифметике в системе счисления. Формирования умения мысленного упорядочения своих действий при решении задач.

  3. Воспитательная: Воспитание эмоционально – положительной направленности на практическую деятельность как основной способ решения реальных проблем. Воспитание бережного отношения как к техники, так и к информации, своей и чужой.

План урока:

  1. Орг. момент.

  2. Изучение нового материала.

  3. Итог занятия.

Краткий конспект.

(слайд 2) Учиться считать люди начали в незапамятные времена, а учителем у них была сама жизнь.

Древние люди добывали себе пищу главным образом охотой.

На крупного зверя – бизона или лося – приходилось охотиться всем племенем.

Чтобы добыча не ушла, ее надо было окружить, но вот хотя бы так: пять человек справа, семь сзади, четыре слева.

Даже в те времена, когда человек не знал таких слов, как “пять” или ”семь”, он мог показать числа на пальцах рук.

Какие системы счисления сложились исторически?

Для любых операций над числами необходимы два понятия: “единица” и “ноль”.

(слайд 3) И, если понятие “единица (счета)”, в принципе, может быть установлено произвольно, то понятие “ноль” – универсальный математический постулат.

Без этого постулата введение какой-либо универсальной системы счисления невозможно.

Счет на пальцах дал основание, по крайней мере, пяти системам счисления помимо десятеричной, а именно: четверичной, пятиричной, восьмиричной, двадцатиричной и сорокаричной.

(слайд 4) Остатки двух последних сохранились, например, в русском сорок и словацком meru “сорок, дословно: мера”, в английском score “двадцать” и в том, что в английском фунте до недавнего времени было 20 шиллингов, во французском 80 — quatre-vingt, т.е. “четыре двадцатки”, и т. д.

(слайд 5) Кстати, про Москву еще в 17 веке говорили, что в ней «сорок сороков церквей», хотя их было порядка ста, т.е. слово «40» еще ассоциировалось не только с число 40, но и с понятием «конец счета», т.е. «минимальный цикл», уже равный к тому времени 10.

(Сорокаричная система — это начало торговли: т.е. все пальцы продавца и покупателя).

(слайд 7) Остатки восьмиричной системы сохранились в русском “осьмушка” (результат троекратного деления пополам) и названии буквы I в русской гражданской азбуке до 1918 г. “и восьмиричное”, в отличие от И — “десятиричного”. (Заметим, что вторая часть этого сложного слова — ричное — однокоренное с решать, т.е. “считать”, ср. укр. рахувати, нем. rechnen. О буквах-числах будет подробно сказано ниже.) Восьмиричная система счисления лежит и в основе всех натуральных музыкальных ладов (октава) и была единственной до появления хроматической гаммы (до XVIII в.).

(слайд 8) Все системы счисления, основанные на пальцевом счете, связаны между собой. Наиболее старыми из них являются четверичная и пятиричная. Четверичная система основана на пальцах руки, не считая большого пальца. В английском языке, например, эти четыре пальца называются одним словом (fingers), а большой палец – другим (thumb, соответствует русскому дыб). То же касается и пальцев ног (большой палец – англ. toe). Слово пять — однокоренное с пясть (т.е. ладонь).

(слайд 9) Четверичная система произошла от самой древней – двоичной (две руки, два глаза, двоичное число существительных и т. д. ), которая теперь применяется в компьютерах. В четверичной пальцевой системе большой палец означал конец счета – т. е. эквивалент нуля. Остатки четверичной системы прослеживаются в музыкальной нотации (октава делится на два тетрахорда), в средневековых французских стихах-катренах (XVII в.), в названии русской меры жидкостей “четверть”, в делении года на четыре сезона и т. п.

(слайд 10) Так называемые “римские” цифры также основаны на пальцевом счете и, по сути, являются сочетанием двоичной, четверичной, пятиричной и сорокаричной систем. В системе римских цифр числа от 1 до 39 (XXXIX) отображаются некоторой комбинацией одинаковых палочек (не букв латиницы I, V, X, порядок которых в алфавите не имеет ничего общего со счетом, в отличие, например от греческого!). А вот число сорок — “конец счета” — отображалось буквой L (от лат. Libra – вес) – отсюда знак фунта стерлингов.

(слайд 11) “Римские” цифры-буквы C (100), D (500), M (1000) – это первые буквы французских слов cent (сто), demi (половина) и mille (ныне тысяча, в XIV веке означало просто “много”, ср. русское тьма = 10000) и появились они не ранее XV века (первая папская энциклика, датированная от “Рождества Христова”, MCDXXXI, т.е. 1431 г.), тогда же и L приобрело значение 50 вместо 40. Это была безнадежная попытка путем приведения системы римских цифр к подобию десятиричной системы сделать их конкурентоспособными по сравнению с арабскими.

Нуля среди римских цифр никогда не было.

(слайд 12) Комбинация четверичной и пятиричной систем проявляется в том, что первая “новая единица” V отражает наименьший цикл (5), но появляется при отображении числа 4 (IV). “Скачок” от системы, кратной двум, к системе, кратной пяти происходит на цифре 9, которая именно поэтому во всех западноевропейских языках называется “новой” (лат. nona, англ. nine, фр. neuf и т. п.), а в балтославянских – “чудесной”: девять, лит. devyni- от “диво”.

(слайд 13) Переход от восьмиричной к десятиричной систенме на Руси оставил след и в слове девяносто. Сто — слово, однокоренное с сыт, насыщение, и также изначально обозначало «конец счета», то есть не число 100, а число 5, ср. с фр. cinq (5), ит. cinque, наряду с фр. cent, ит. cento (100). Поэтому девяносто — это «насыщение девятками» в десятиричной системе, попытка комбинации восьми- и десятиричной систем, аналогичная комбинации четверичной и пятиричной в системе римских цифр.

(слайд 14) Рассматривая эволюцию систем счисления, основанных на пальцевом счете, можно с большой вероятность сделать вывод, что десятиричная система стала вытеснять остальные только к XV в. – под влиянием арабов и Орды (что, впрочем, по сути, одно и то же, поскольку арабская культура и есть часть ордынской.)

Другая группа систем счисления основана на природных циклах.

Это семиричная система дней недели, двенадцатиричная система месяцев, двадцатичетырехричная система часов, шестидесятиричная система минут и секунд, девятнадцатиричная система девятнадцатилетнего “круга Луны” и двадцативосьмиричная система аналогичного “круга Солнца”.

(слайд 15) Мало кто знает, что Базельский Собор 1431 г. занимался, в числе главных вопросов, проблемой календаря, а вопрос о единой системе счисления вообще впервые поставил именно на нем в своем докладе выдающийся ученый (математик и астроном) кардинал Николай Кузанский. Опираясь на данные лучшего к тому времени звездного каталога Улугбека, он убедительно доказал, что без введения десятиричной системы счисления, самой удобной для наглядного обучения (!), в обозримом будущем возникнет катастрофическая проблема “обнуления астрономического счетчика”.

(слайд 16) Достоверно известно, что в 9 веке в Индии уже использовали цифру «ноль» и позиционную десятиричную систему счисления. Существует так же мнение, что ноль позаимствован был из Древнего Вавилона, где он использовался в позиционной шестидесятиричной системе счисления (от сюда в часе 60 минут), а индусы перенесли его, как понятие, на десятиричную систему счисления.

Так же известно, что «ноль» использовался древними майя в двадцатиричной системе счисления.

  1. Система счисления –это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

Система счисления бывают позиционные и непозиционные.

В позиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её позиции.

Система счисления в Древнем Риме

Система счисления в Древнем Египте.

Алфавитная система счисления

Славянский цифровой алфавит

Ясачные грамоты

Вавилонская система счисления

Кодирование информации – Азбука Морзе

  1. Вопросы:

    1. Какие системы счисления бывают?

    2. Что такое система счисления?

    3. Приведите примеры непозиционных систем счисления?

«Перевод чисел из одной системы счисления в другую».

План урока:

  1. Орг. момент.

  2. Изучение нового материала.

  3. Решение примеров.

  4. Задание на дом.

  5. Итог урока.

Представление чисел в различных системах счисления:

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в любую другую надо делить число на основание до тех пор, пока последнее частное не станет меньше основания. А затем переписать все остатки, начиная с последнего частного в обратном направлении.

ПРИМЕР:

10210 → 11001102

102 2

102 51 2

0 50 25 2

1 24 12 2

1 12 6 2

0 6 3 2

0 2 1

1

№1. Переведите самостоятельно и объясните ответ :

22710→ Е316

Для перевода чисел из любую системы счисления в десятичную надо представить это число в виде суммы произведений каждой цифры числа умноженного на основание в степени на единицу меньше порядкового номера цифры числа.

Пусть p – это основание системы счисления

Тогда

anan-1…a1a0 p= an pn-1+an-1 pn-2+…+a1 p 0

ПРИМЕР:

11001102 → 10210

1 1 0 0 0 0 0 = 1*26 + 1*25+ 0*24+ 0*23+ 1*22+ 1*21+ 0*20 = 64+32+4+2=102

6 5 4 3 2 1 0

суммы произведений

№2. Делаем проверку примера 1.

Е316 →22710

  1. Д/з. Переведите число 320 из десятичной системы счисления в 16, 3, 8, 2 и сделайте проверку.

  1. Ответьте на вопросы:

    1. Какие действия надо производить для перевода чисел из десятичной системы счисления?

    2. Сколько цифр используется в двоичной, шестнадцатеричной системе счисления?

    3. Какие действия надо производить для перевода чисел в десятичную систему счисления?

Примеры для самостоятельного перевода чисел

24(10) – (2)

11000

3F (16) – (10)

63

140(10) – (8)

214

100010(2) – (10)

34

144(8) – (10)

100

235(10) – (8)

353

1000111(2) – (10)

71

211 (10) – (2)

11010011

E7(16) – (10)

231

1100111(2) – (10)

103

123(10) – (8)

173

10111011(2) – (10)

187

145(10) – (16)

91

Умножение(2)

1*1=1

1*0=0

0*1=0

0*0=0

Сложение(2)

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

Вычитание (2)

0 – 1 = 1 (заем из старшего разряда)

1 – 1 = 0

1 – 0 = 1

0 – 0 = 0

ПРИМЕР:

1110

* 10

——

+ 0000

1110

——

11100

Для решения примеров в троичной и восьмеричной системах счисления, составим таблицы сложения и умножения в этих системах счисления.

Умножение(3)

0

1

2

1

1

2

2

2

11

Сложение(3)

0

1

2

1

2

10

2

10

11

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

10

2

3

4

5

6

7

10

11

3

4

5

6

7

10

11

12

4

5

6

7

10

11

12

13

5

6

7

10

11

12

13

14

6

7

10

11

12

13

14

15

7

10

11

12

13

14

15

16

Умножение(8) Сложение(8)

1

2

3

4

5

6

7

1

1

2

3

4

5

6

7

2

2

4

6

10

12

14

16

3

3

6

11

14

17

22

25

4

4

10

14

20

24

30

34

5

5

12

17

24

31

36

43

6

6

14

22

30

36

44

52

7

7

16

25

34

43

52

61

  1. Примеры:

№1 (троичная система счисления)

12 + 22 = 111 21 * 2 = 112

  1. — 11 = 210 11 : 2 = 2

№2 (двоичная система счисления)

1110+101=10011 10101-11=10010

101*11=1111 1110/10=111

№3 (восьмеричная система счисления)

476+251=747 621-142=457

12*6=74 123/3=33

  1. Задание на дом.

Составить таблицу сложения шестнадцатеричной системы счисления.

Выполнить действия.

11112+10012=

11112+1012 =

2013+123=

2003*123=

10012+10112=

11002+1112=

1013+223=

2013*103=

10102+11002=

10012+1112=

2113+213=

2113*113=

15

ПОХОЖИЕ РАБОТЫБОЛЬШЕ ОТ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Please enter your comment!
Please enter your name here