Методическая разработка занятия
в 11 классе «Мир иррациональных уравнений»
Раздел программы:
-
алгебра и начала математического анализа «Мир иррациональных уравнений» 11 класс
Цели и задачи:
-
ввести понятие “иррациональное уравнение”;
-
разобрать подробно алгоритм решения иррациональных уравнений методом возведения в квадрат обеих частей уравнения, который является основным;
-
способствовать формированию умения выбирать наиболее рациональные способы решения иррациональных уравнений.
-
выработать умение мыслить, делать выводы, применять теоретические знания для решения задач.
-
воспитывать практическое отношение к знаниям, продолжить воспитание у учащихся устойчивого интереса к математике.
Тип занятия: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Формы работы: фронтальная.
Оборудование:
-
компьютер;
-
мультимедийный проектор;
-
экран, доска, листы для самостоятельной работы, листы с заданиями для работы на уроке.
Список литературы и Интернет-ресурсов:
-
и появилась не сразу. Эволюция знака радикала длилась почти пять веков, начиная с далекого XIII века, когда итальянские и некоторые европейские математики впервые называли квадратный корень латинским словом Radix (корень) или сокращенно R.
Современный знак корня произошел от обозначения, применяемого немецкими математиками XV-XVI вв.
Скорее всего, в последствии от таких обозначений как раз и образовался знак V, близкий по записи к знакомому школьникам современному знаку, но без верхней черты.
Автором этого труда был преподаватель математики из Вены, уроженец Чехии Криштоф Рудольф. Эти знаком пользовались А.Жирар, С.Стевин V (2) или V(3).
В 1626 г. нидерландский математик А.Жирар видоизменил знак корня Рудольфа и ввел совсем близкое к современному обозначение.
Такая форма записи начала вытеснять прежний знак R. Однако некоторое время знак корня писали, разрывая верхнюю черту.
И только в 1637 году Рене Декарт соединил горизонтальную черту с галочкой, применив новое обозначение в своей книге “геометрия”.
3. Изложение нового материала. (15 минут)
3.1. Понятие иррационального уравнения. (Слайд 3)
– Иррациональным уравнением называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня (радикала) или под знаком операции возведения в дробную степень.
Примеры иррациональных уравнений: ; ;
; ;
3.2. Основные приемы решения иррациональных уравнений. (Слайд 4)
Основная идея при решении уравнений данного типа — это освобождение их от иррациональности. Этого можно достичь путем совместного возведения обеих частей уравнения в нужную степень.
Например:
, .
Либо избавиться от иррациональности можно путем извлечения корня из соответствующей степени выражения, например: (слайд 5)
, .
При возведении обеих частей уравнения в нечетную степень (3,5,7…) выполняется равносильное преобразование уравнения, поэтому посторонние решения не появляются. (Слайды 6-7)
Пример решения уравнения:
, , , ,
или
Ответ: 0;1.
Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, является неравносильным преобразованием уравнений, поэтому в решении могут появляться посторонние корни. Для отсеивания посторонних корней необходимо выполнять проверку или находить область допустимых значений. (Слайды 8-9)
Рассмотрим примеры решения подобных уравнений (слайды 10-13).
Пример № 1.
, , ,
, .
Проверка: 1) , то и ,
2) , то и , .
Значит не является корнем уравнения.
Ответ:
Пример № 2.
Найдем ОДЗ: , ,
Возведем обе части уравнения в квадрат:
, , ,
Пусть , тогда оценка корней показывает, что поэтому корнем уравнения не является.
Ответ:
Алгоритм решения иррациональных уравнений основными методами
(слайд 14):
1.Найти ОДЗ или после нахождения корней уравнения выполнить проверку.
2.Возвести в одну и ту же степень обе части уравнения.
3.Решить полученное уравнение.
4.Записать ответ.
4. Разбор заданий для самостоятельного решения дома. (Слайд 15) (8 мин.)
Решите уравнения:
1.
2.
3.
4.
Для разбора методов решения уравнений можно привлечь учащихся и потом обобщить все сказанное.
5. Итог занятия. Рефлексия. (Слайд 27) (5 минут)
Для подведения итогов и обобщения всего изложенного на уроке можно провести блиц опрос учащихся по вопросам:
-
Какие уравнения называются иррациональными?
-
Какой метод является основным при решении иррациональных уравнений?
-
Всегда ли необходимо выполнять проверку или находить ОДЗ?
-