Конспект урока алгебры и начала анализа в 11 классе
по теме: «Тригонометрические уравнения (урок обобщения и систематизации знаний)»
учителя математики МОУ СОШ № 2 г. Питкяранта РК
Никитиной С.В.
Тип урока: Урок обобщения и систематизации.
Методы:
— частично-поисковый;
— поисковый;
— проблемный;
-исследовательский – решение познавательных обобщающих задач;
— системные обобщения;
— самопроверка;
— самооценка.
Использованные технологии: технология сотрудничества – работа в малых группах, когда успех всех зависит от успеха каждого; информационная технология – использование возможностей компьютера.
Цель урока: Обобщить и систематизировать знания по теме «Тригонометрические уравнения», продолжить работу по подготовке к ЕГЭ.
Ход урока:
1°. Орг. момент
2°. Разминка
3°. Повторение.
4°. Решение простейших тригонометрических выражений. Индивидуальные задания.
5°. Работа в группах.
6°. Индивидуально-дифференцированная работа.
7°. Итог урока.
8. Задание на дом.
Формы организации труда:
— индивидуальная;
— фронтальная;
— групповая;
— индивидуально-дифференцированная.
1°. Орг. момент.
Сегодня на уроке мы обобщаем и систематизируем полученные знания по теме «Тригонометрические уравнения», напоминая основные и специальные методы их решения, повторяя формулы и приёмы и тем самым – продолжаем подготовку к ЕГЭ
Девизом урока предлагаю слова Сухомлинского, зашифрованные в ребусе. Для этого надо решить устные упражнения и по ответам находить слова этого крылатого выражения:
| 2) arccos (-x) | 3) sin x = 0 | 4) 2 cos x = 1 | 5) 5sin2x-7+5cos2x | |
| 6) arctg 1 | 7) cos x = a | 8) ctg x = a | 9) x2 + 5x +6 =0 | 10)sin π/4 +cos π/2 |
| 11) sin (-x) | 12)arcsin(-/2) | 13)y = cos(x-π) | 14)arcctg(-1) | 15) arccos (- 1/2) |
| 16) sin (3π/2 – x) | 17) ctg(- x) | 18)arcsin(-1)+arccos1 | 19) sin x = a | 20) tg x = a. |
| 21) tg π/4 | 22) 72 | 23) sin2x+ tgxctg x +cos2x | 24) |
|
| У Ч И Т Е Л Ь | |
|
| Б У Д У Щ Е М |
| -2 и 3 | В Ы |
| – sin x | С Е Г О Д Н Я |
| – | У Ч И Т Е Л Я, |
|
| В |
| X = arcctg a + πn, n ЄZ | И |
| X= arctg a + πn,nЄZ | В |
| π– arccos x | М Ы |
| 2 | П Р О Г Р Е С С А |
| — | Н О |
| X= (- 1)narcsin a +πn, n Є Z | И Н А Ч Е |
| X=πn, nЄZ | У Ч И М С Я |
|
| У Ч Е Н И К |
| X= | В М Е С Т Е |
| 2 | Б У Д Е Т |
|
| М О И |
| 49 | НЕ |
| – cos x | Д О Л Ж Е Н |
| – 2 | Я |
| 2 | Н А У К Е |
| – sin x | У Ч Е Н И К И. |
| – ctg x | П Р Е В З О Й Т И |
|
| ВАШ |
На плакате появляется эпиграф урока: “Сегодня – мы учимся вместе: я, ваш учитель и вы мои ученики. Но в будущем ученик должен превзойти учителя, иначе в науке не будет прогресса ”. (Сухомлинский)
На доске записаны уравнения. Исходя, из записей на доске определите тему нашего урока.
« Решение тригонометрических уравнений»
Верно, подготовка к ЕГЭ.
Давайте подумаем, что мы должны хорошо знать, для того, чтобы решить тригонометрическое уравнение.
Выслушиваются ответы учащихся (формулы по тригонометрии, решение простейших тригонометрических уравнений, способы решения уравнений и т.д.)
Слабым учащимся дается задание заполнить таблицу в парах
Задание: заполнить 3 столбец таблицы
-
Значения
а
Уравнение
Формулы решения уравнений
sinx=a
sinx=a
уравнение решений не имеет
а=0
sinx=0
а=1
sinx= 1
а= -1
sinx= -1
cosx=a
cosx=a
уравнение решений не имеет
а=0
cosx=0
а=1
cosx= 1
а= -1
cosx= -1
tgx=a
ctgx=a
Для остальных:
2°. Разминка. Диктант «Верно — неверно» (самопроверка)
3.Три слабых ученика к доске — решить простейшие уравнения (тем, кто записывал формулы)
| А3 |
|
| А 4 |
|
Проверяют сильные ученики
4.Классу задания: на доске записаны уравнения, разделите их на группы по способам решения
3 sin²x + cos²x = 1 — sinx cosx
4 соs²x — cosx – 1 = 0
2 sin² x/2 + cosx = 1
cosx + cos3x = 0
2 sinx cos5x – cos5x = 0
2sinxcosx – sinx = 0
3 cos²x — cos2x = 1
6 sin²x + 4 sinx cosx = 1
4 sin²x + 11sinx = 3
sin3x = sin17x
А для этого надо вспомнить методы решения тригонометрических уравнений, которые мы знаем
Обсудите в парах, какие способы вам известны.
Учащиеся вспоминают и называют способы. Затем показывается слайд с методами решения.
После этого учащимся дается задание по вариантам (для проверки поменялись тетрадями вариант со своим вариантом)
Вариант I
Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения:
1)приведение к квадратному;
2)приведение к однородному;
3)разложение на множители;
4)понижение степени;
5)преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.
| Способы решения | |||||
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| а)3 sin²x + cos²x = 1 — sinx cosx |
|
|
|
|
|
| б)4 соs²x — cosx – 1 = 0 |
|
|
|
|
|
| в)2 sin² x/2 + cosx = 1 |
|
|
|
|
|
| г) cosx + cos3x = 0 |
|
|
|
|
|
| д)2 sinx cos5x – cos5x = 0 |
|
|
|
|
|
Вариант II
Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения:
1)приведение к квадратному;
2)приведение к однородному;
3)разложение на множители;
4)понижение степени;
5)преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.
| Способы решения | |||||
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| а)2sinxcosx – sinx = 0 |
|
|
|
|
|
| б)3 cos²x — cos2x = 1 |
|
|
|
|
|
| в)6 sin²x + 4 sinx cosx = 1 |
|
|
|
|
|
| г)4 sin²x + 11sinx = 3 |
|
|
|
|
|
| д) sin3x = sin17x |
|
|
|
|
|
5.Физминутка
Задание для снятия утомляемости глаз: нельзя водить руками, а лишь только глазами В таблице расположены числа от 1 до 20, но четыре числа пропущены. Ваша задача: назвать эти числа.
| 13 | 18 | 3 | |
| 19 | 1 | 8 | 16 |
| 12 | 14 | 20 | 10 |
| 4 | 9 | 15 | 6 |
6.Дома было дано задание, придумать как можно больше способов решения уравнения
К доске выходят три ученика и записывают по 2 различных способа (объясняют)
7.Учащимся предлагается выполнить задание С1:
а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .
Решение.
а) (один ученик у доски):
Так как (формула косинуса двойного угла), (формула приведения), то , , (вынесение за скобки общего множителя).
Корни уравнения: , .
б) Работа по группам:
1 группа. Отбор корней по единичной окружности.
Корни уравнения изображаются точками А и В, а корни уравнения — точками C и D, промежуток изображен жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: и .
б)Ответ: .
2 группа. Отбор корней по графику.
б) Корни, принадлежащие промежутку, отберем по графику. Прямая (ось ) пересекает график в единственной точке, абсцисса которой принадлежит промежутку.
Прямая пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат(см. рис.). Так как период функции равен , то эти абсциссы равны, соответственно, и .
В промежуткесодержатся три корня: .
3 группа. Отбор корней перебором значений.
б) Пусть . Подставляя , получаем . Промежутку принадлежит только .
Пусть . Подставляя , получаем:
.
Промежутку принадлежат только .
Промежутку принадлежат корни: .
4 группа. Отбор корней аналитически с помощью неравенств.
б) Отберем корни, принадлежащие промежутку.
Пусть .. Тогда .
Корень, принадлежащий промежутку: .
ПустьZ.
Тогда.
Корень, принадлежащий промежутку: .
ПустьZ.
Тогда.
Корень, принадлежащий промежутку: .
Промежутку принадлежат корни: .
8. Работа в группах.
Каждой группе предложено несколько уравнений. Необходимо, если возможно, определить вид уравнений и метод, который будет использоваться в решении этих уравнений. Решить уравнения и одно — два из них (по выбору группы) записать на доске и прокомментировать решение.
1 группа Уравнения, решаемые алгебраическими методами (методом разложения на множители, методом введения новой переменной). Выбрать корни принадлежащие промежутку [п/2; 2п] в 1 и 2 уравнениях
2 группа Однородные уравнения и сводимые к ним. Выбрать корни принадлежащие промежутку [п/2; 2п] в 1 и 2 уравнениях
3 группа Неоднородные уравнения. Выбрать корни принадлежащие промежутку [ п/2; 2п] в 1 и 2 уравнениях
4 группа Уравнения, решаемые при помощи преобразований, на основе формул преобразования сумм в произведение, произведения в сумму, понижения степени. Выбрать корни принадлежащие промежутку [п/2; 2п] в 1 и 2 уравнениях
9. Решение уравнений
Индивидуально-дифференцированная работа. Дети выбирают сами. Сколько успеют, остальное по выбору решают дома.
На “3”. Решите уравнения: 1) sinx =
2) cos2 x – 9 cos x + 8 = 0
3)
На “4”. Решите уравнение:
1) cos 2x – 9cos x +8=0
2) sin 2x sin 3x=0
3) cos x + sin x = 0
4) (cos x – 1)
На “ 5”. Решите уравнение:
1) 2cos2x + 3sin x = 0
2) 3 sin x cos x – cos2 x = 0
3) Найдите среднее арифметическое корней уравнения
cos2 x + sin x cos x = 1 на промежутке [-π;π]
4)
5) 3 – 4 sin2 (3x+
6) | cos | = 2cos x –sin x.
10.Итог урока.
По окончании урока каждый ученик сам себя оценивает, отмечает это в листе учета. Подводятся итоги урока, анализируется работа каждого ученика.
Ф.И учащегося____________________________________________________________
| Название этапа | Количество верных шагов | Оценка | Оценка | |
| 1 |
|
|
|
|
| 2 |
|
|
|
|
| 3 |
|
|
|
|
| 4
|
|
|
|
|
| 5 |
|
|
|
|
| 6
|
|
|
|
|
8. Домашняя работа индивидуально-дифференцированная, причем каждому ученику есть возможность “ продвинуться”, те кто решал на “3” дома будет решать на “4”, кто на “4”,тот на “5”,а кто на “5”, тот на “5/5”.
Предлагаю закончить урок словами Я.А.Коменского: “ Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию ”.