Государственное образовательное учреждение
начального профессионального образования
«Профессиональное училище №5» г. Белгорода
Конспект урока
по математике на тему:
Некоторые следствия из аксиом стереометрии
для учащихся 10 классов
Подготовила:
Кобзева Ирина Алексеевна,
преподаватель информатики и математики
ГОУ НПО ПУ №5
Белгород 2010
Тема урока: Некоторые следствия из аксиом
Цель урока:
ознакомить учащихся с данной темой, показать применение аксиом к решению задач.
Ход урока
1. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания
Вопросы учащимся:
а) Решение задачи 3(а) — учащиеся дают обоснованный ответ (да — первый случай аксиома А1, второй случай аксиома А2.
б) Сформулировать аксиомы планиметрии.
в) Сформулировать аксиомы А1—А3 стереометрии.
III. Новый материал
Докажем следствие из аксиом.
Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Учащиеся записывают формулировку теоремы — стр. 6 учебника.
Дано: а, М € а.
Доказать: (а, М) € а.
Доказательство: Отметим, что теорема содержит два утверждения: 1. О существовании плоскости. 2. О единственности плоскости.
а) Рассмотрим прямую а и не лежащую на ней точку М. Докажем, что через прямую а и точку М проходит плоскость. Отметим на прямой а 2 точки: Р и Q. Точки M, Р и Q не лежат на одной прямой, поэтому согласно аксиоме А1 через эти точки проходит некоторая плоскость α. Так как 2 точки прямой а (Р и Q) лежат в плоскости α, то по аксиоме А2 плоскость α проходит через прямую а.
б) Единственность плоскости, проходящей через прямую А и точку М, следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямую а и точку M проходит через точки М, Р и Q. Следовательно, эта плоскость совпадет с плоскостью α, так как по аксиоме А1 через точки М, Р и Q проходит только одна плоскость.
Теорема доказана.
Теорема 2. Через 2 пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Формулировку учащиеся записывают в тетрадь под руководством учителя с учебника (стр. 7).
Устно разбирают доказательство, а запись выполняют дома.
Учитель обращает внимание учащихся, что данная теорема также состоит их 2 утверждений: существования и единственности, и доказательство опирается не на аксиомы, а на следствие 1.
III. Закрепление изученного материала
Учащиеся работают в тетрадях.
Один учащийся выходит к доске и решает задачу 6, случай 1: точки лежат на одной прямой.
Дано: АВ, ВС, АС.
Доказать: (АВ, ВС, АС) € (АВС).
Доказательство:
-
(А, В, С) € а, так как 3 точки принадлежат одной прямой, то по А2 (А, В, С) € АВС;
-
(А, В, С) € а. Через А, В и С по А1 проходит единственная плоскость. 2 точки каждого из отрезков АВ, АС и ВС лежат в плоскости, следовательно, по А2 прямые АВ, ВС, АС, а значит, и отрезки АВ, ВС, АС лежат в плоскости и т. д.
Задача с плаката
Учащиеся работают в тетради, предварительно сделав чертеж.
Дано: АВСD — ромб, АС∩ ВD = О, М € а, (А, D, 0) € α.
АВ = 4 см, <А = 600.
Найти: (В, С) € α, D € МОВ, МОВ ∩АDО, SABCD
Решение: Учитель проводит фронтальную работу по вопросам плаката.
1) D € α, О € α, то по А2 DО € а, так как В € DО, то В € α.
Аналогично А € α, О € α, то по A2 АО € α, так как С € АО, то С € α.
2) ОВ € МОВ, D € ОВ, то D € МОВ.
3) О € МОВ,О € АDО.
В € МОВ, В € АDО =› МОВ∩ АDО = ВО, но так как ВО— часть DВ, то МОВ ∩АDО=DВ.
Учитель обращает внимание учащихся на тот факт, что если 2 плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.
4) Sромба=4∙4∙sin 600=8 √3 (см2).
IV. Подведение итогов
Цель урока достигнута. Аксиомы стереометрии повторили, познакомили со следствиями и применили их при решении задач.
V. Оценки (с комментариями)
Домашнее задание
П. 2, 3, стр. 4—7.
Теорема 2, стр. 7 — записать доказательство.
Повторить А1—А3.
Задача 8
Ответ:
а) нет, окружность можно вращать вокруг прямой, соединяющей эти две точки;
б) да.
Литература:
Геометрия 10-11 класс Л. С. Атанасян и др. М.: Просвещение