Олимпиада по математике 8 класс

Олимпиада по математике (8 класс).

Составитель: Астахова Ирина Александровна, учитель математики ТОГБОУ кадетская школа-интернат «Многопрофильный кадетский корпус» (г. Тамбов)

Задание 1. Разложите на множители ab (a – b) – ac (a + c) + bc (2a + c – b).

Решение. Рассмотрим выражения a – b, a + c и 2a + c – b, увидим, что 2a +c – b = (a – b) + (a + c), поэтому последний член bc (2a + c – b) представим в виде суммы двух слагаемых:

ab (a – b) – ac (a + c) + bc (a + c) + bc (a – b) = (a – b)(ab + bc) + (a + c)(bc – ac) = b (a – b)(a + c) + c (a + c)(b – a) = (a – b)(a + c)(b – c).

Задание 2. На каждую клетку шахматной доски положили по нескольку монет так, что суммы на каждых двух клетках, имеющих общую сторону, отличаются на рубль. Известно также, что одной из клеток лежит 3 рубля, а на другой – 17 рублей. Какую сумму образуют монеты, лежащие на обеих диагоналях?

Решение. Заметим, что условия задачи выполнимы лишь в том случае, если указанные суммы в 3 и 17 рублей лежат в противоположных углах шахматной доски. Тогда заполнение доски производится однозначно, а искомая сумма равна 160 рублям.

3

4	5	6	7	8	9	10
4	5	6	7	8	9	10	11
5	6	7	8	9	10	11	12
6	7	8	9	10	11	12	13
7	8	9	10	11	12	13	14
8	9	10	11	12	13	14	15
9	10	11	12	13	14	15	16
10	11	12	13	14	15	16	17

Задание 3. Печорин, Онегин и Чацкий – студенты университета. Каждый из них выбрал для изучения ровно три предмета из четырёх: биология, химия, история, математика. Для любителей логических задач каждый из студентов изрёк по четыре утверждения.

Утверждения Печорина:

1) только на один предмет из четырёх пал выбор каждого из нас,

2) из нас только я выбрал математику,

3) никакие двое из нас не выбрали три одинаковых предмета,

4) Чацкий неправ, говоря, что Онегин и я выбрали химию.

Высказывания Онегина:

1) только один из нас выбрал историю, это – Печорин,

2) Чацкий и я выбрали одни и те же предметы,

3) мы все трое выбрали биологию,

4) двое из нас выбрали химию и биологию.

Высказывания Чацкого:

1) мы все трое выбрали математику,

2) Онегин выбрал историю,

3) Печорин выбрал тот предмет, который я не выбрал,

4) Печорин и Онегин – оба выбрали химию.

Если верны два и только два утверждения из четырёх, сказанных каждым, то какие три предмета были выбраны каждым из этих студентов?

Решение. Всем условиям удовлетворяет единственно возможный вариант выбора предметов:

Печорин выбрал биологию, химию, историю;

Онегин – биологию, химию, математику;

Чацкий – биологию, математику, историю.

Таблица верных (+) и ложных (-) ответов такова:

Печорин (+ — + -),

Онегин (- — + +),

Чацкий (- — + +).

Задание 3. На каждую клетку шахматной доски положили по нескольку монет так, что суммы на каждых двух клетках, имеющих общую сторону, отличаются на рубль. Известно также, что одной из клеток лежит 3 рубля, а на другой – 17 рублей. Какую сумму образуют монеты, лежащие на обеих диагоналях?

Решение. Заметим, что условия задачи выполнимы лишь в том случае, если указанные суммы в 3 и 17 рублей лежат в противоположных углах шахматной доски. Тогда заполнение доски производится однозначно, а искомая сумма равна 160 рублям.

3

4	5	6	7	8	9	10
4	5	6	7	8	9	10	11
5	6	7	8	9	10	11	12
6	7	8	9	10	11	12	13
7	8	9	10	11	12	13	14
8	9	10	11	12	13	14	15
9	10	11	12	13	14	15	16
10	11	12	13	14	15	16	17

Задание 4. Существует ли такой выпуклый многоугольник, которого отношение суммы внутренних углов к сумме внешних (взятых по одному при каждой вершине) равно 15 : 4?

Решение. Сумма внутренних углов многоугольника 180º (n – 2), а сумма внешних углов 360º. Значит,

,

откуда n=9,5. Число сторон не может быть дробным, значит, такой многоугольник не существует.

Задание 5. Основания трапеции равны 3 см и 2 см. Диагонали её равны 4 см и 3 см. Найдите площадь трапеции.

Решение. Пусть дана трапеция ABCD. Проведём ED ║ AC до пересечения с продолжением ВС в точке Е. В треугольнике BED стороны равны 3 см, 4 см и 5 см, значит, угол BDE-прямой, поэтому и угол АОD-прямой, т. е. диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. S_ABCD = 0,5 AC ∙ BD = 6(см²).

Задание 6. Натуральные числа а, b и с таковы, что аb + bс = са. Докажите равенство НОД(а, b) + НОД(b, с) = НОД(с, а). (Здесь НОД – наибольший общий делитель.)

Доказательство. Задача легко сводится к случаю, когда числа а,в и с не имеют общего делителя. В этом случае НОД(а, b) = , НОД(b, с) = и НОД(а, с) = . Равенство + = справедливо, так как после умножения его на получим верное равенство ab + bc = ca.

Задание 7. Докажите, что число 1991 · 1993 · 1995 · 1997 + 16 является квадратом натурального числа.

Доказательство. Имеет место тождество

(n – 3)(n – 1)(n + 1)(n +3) + 16 = (n² – 5)².

Отсюда следует числовое равенство

1991 · 1993 · 1995 · 1997 + 16 = (1994² – 5)².

Задание 8. Целые числа a, b c таковы, что ab + bc + ca = 0. Докажите, что число abc может быть представлено в виде произведения квадрата целого числа на куб целого числа.

Доказательство. Покажем, что если числа a, b, и c не имеют общего делителя, то число abc является полным квадратом. Пусть p – простое число и с делится на pⁿ, тогда из равенства ab = — c(a + b) следует, что одно из чисел a и b делится на pⁿ, а второе не делится на p; значит, abc делится на p²ⁿ. Аналогично рассуждая про делители чисел а и b, получаем, что любое простое число входит в произведение abc в четвёртой степени. Если у чисел a, b, c есть общий делитель, то он войдёт в произведение в кубе.

Задание 9. Из двух городов, расстояние между которыми 63 км, вышли одновременно два пешехода и встретились через 9 ч. Определите среднюю скорость каждого пешехода, зная, что , если бы первый шёл в 1,5 раза быстрее, а второй – в 2 раза быстрее, они встретились бы через 5 ч 15 мин.

Решение. 63 : 9 = 7 (км/ч) – скорость сближения пешеходов. Если скорость одного из них x км/ч, то скорость второго (7 – х) км/ч. Если скорость первого увеличить в 1,5 раза, она станет равной 1,5х км/ч, а если скорость второго увеличить в 2 раза, то она станет равной 2(7 – х) км/ч, тогда мы получим скорость сближения 63 : 5,25 = 12 (км/ч), отсюда уравнение: 1,5х + 2(7 – х) = 12; значит, скорость одного 4 км/ч, а другого 3 км/ч.

Задание 10. Существует ли такое двузначное число, которое при делении на произведение его цифр даёт в частном 4 и в остатке 6?

Решение. Предположим, что такое число существует. Обозначив через x и y соответственно число его десятков и число единиц, получим для определения неизвестных уравнение

10x + y = 4xy + 6 (1)

и неравенство

xy > 6, (2)

поскольку остаток меньше делителя.

Так как уравнение (1) равносильно уравнению

(4x – 1)(5 – 2y) = 7 ∙ 1 (3)

и x – натуральное число, то 4x – 1 > 1. Следовательно, из (3) с учётом того, что y — число целое, имеем: 4x – 1 = 7 и 5 – 2y = 1, т. е. x = 2, y = 2, но эта пара чисел не удовлетворяет неравенству (2).

Итак, не существует двузначное число, которое при делении на произведение его цифр даёт в частном 4 и в остатке 6.

Критерии оценивания:

4 балла – верное решение.

3 балла – решение в целом верное, но содержит некоторые неточности.

2 балла – решение в основных чертах верное, но неполное или содержит ошибки.

1 балл – решение в целом неверное, но содержит более или менее существенные продвижения в верном направлении.

0 баллов – решение неверное или отсутствует.