МОРСКОЙ БОЙ по теме «ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ»

Шумова Светлана Александровна, учитель математики, Московская область, город Раменское

Предмет (направленность): математика.

Возраст детей: 8 класс.

Место проведения: занятие спецкурса.

Ход мероприятия

Команды занимают свои места.

На интерактивной доске выведен слайд №1

Вступление

Слайд №2

— Добрый день, ребята! Сегодняшнее занятие я хочу начать словами Норберта Винера:

Слайд №3

— Я желаю каждой команде успеха, пожелайте успеха друг другу, и начнем наш «бой».

Далее необходимо сообщить учащимся правила игры.

Игра создана по мотивам одноименной игры.

Она состоит из 13 задач и секторов «переход хода».

Задачи имеют цену 3 или 5 баллов.

На интерактивную доску выводится игровое поле. Каждая ячейка этого поля имеет имя, которое складывается из названия столбца и номера строки (например, А5). Право первого хода принадлежит той команде, которая выиграет конкурсное задание (команде-победителю присваивается номер 1, а остальным командам – номера 2 и 3 соответственно по результатам конкурсного задания). На обдумывание решения дается 5 мин. или до готовности команды, делающей ход. Участник отвечающей команды выходит к доске и объясняет решение задачи. При правильном решении команда зарабатывает указанные баллы. В случае если команда дает неправильный ответ или истекает отведенное на решение время, право ответа переходит к команде, поднявшей первой руку. Право следующего хода переходит к следующей по номеру команде.

Если команда выбирает ячейку, которая открывает надпись «переход хода», то ход переходит к следующей по номеру команде.

Конкурсное задание

Каждой команде дается задание. Побеждает та команда, которая точнее и быстрее даст ответ на поставленный вопрос.

Слайд №4

Ответ: 2⁸.

Основная часть игры

На интерактивной доске представлено игровое поле

Задачи

А1

Если в числе 3¤4¤1¤0¤8¤2¤40923¤0¤320¤2¤56 вместо «¤» записать в любом порядке цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, то полученное число будет делиться на 396. Докажите это.

Решение:

396 = 11 ∙ 9 ∙ 4

Число 3¤4¤1¤0¤8¤2¤40923¤0¤320¤2¤56 делится на 4, т.к. 56 4.

Сумма цифр, стоящих на нечетных местах (3¤4¤1¤0¤8¤2¤40923¤0¤320¤2¤56) равна

3 + 4 + 1 + 0 + 8 + 2 + 4 + 9 + 3 + 0 + 3 + 0 + 2 + 5 = 44.

Сумма цифр, стоящих на четных местах (3¤4¤1¤0¤8¤2¤40923¤0¤320¤2¤56) равна 0 + 2 + 2 + 6 +сумма всех символов ¤ = 10 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6+ 7 + 8 + 9 = 10 + 45 = 55

Значит, разность между этими суммами равна 55 — 44 = 11 11, т.е. число 3¤4¤1¤0¤8¤2¤40923¤0¤320¤2¤56 делится на 11.

А сумма цифр в числе равна 55 + 44 = 99 9 , т.е. число делится на 9.

Таким образом, число делится на 4, 9 и 11. Это взаимно простые числа, поэтому число делится на их произведение, т. е. на 396

Е1

Найдите наименьшее число, кратное 45, запись которого состоит лишь из 0 и 1.

Решение:

45 = 5 ∙ 9

Так как число кратно 5, то оно может оканчиваться лишь 0 или 5. В нашем случае число может оканчиваться только 0.

Так как число кратно 9, то сумма цифр в числе должна быть кратна 9. В нашем случае это означает, что число 1 в числе должно быть кратным 9.

Так как мы ищем наименьшее число, то в нем должно быть 9 единиц.

Таким образом, мы получаем число 1111111110.

Ответ: 1111111110

Ж1

Докажите ошибочность следующей записи 1965² = 3761225.

Решение:

1965² = 1965 ∙ 1965

Сумма цифр в числе 1965 равна 1 + 9 + 6 + 5 = 21 3. Значит, число 1965 кратно 3. Следовательно, 1965² кратно 9. Но число 3761225 не делится на 9, т.к. сумма цифр в числе равна 3 + 7 + 6 + 1 + 2 + 2 + 5 = 26.

В2

На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел.

Когда стерли одно из них, то сумма оставшихся оказалась равна 2002. Какое число стерли?

Решение:

Обозначим меньшее из этих чисел за n. Тогда мы имеем следующую последовательность чисел:

n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7, n + 8, n + 9.

Сумма этих чисел будет равна 10n + 45.

Допустим, что стерли число n + y, где 0 ≤ у ≤ 9. Тогда сумма оставшихся будет равна

10n + 45 – n – y = 2002

9n – y = 1957

9n = 1957 + y

Так как левая часть уравнения делится на 9, следовательно и правая должна делится на 9. Отсюда получаем, что у = 5.

Значит, 9n = 1962

n = 218 – наименьшее число.

Таким образом, с доски стерли число 218 + 5 = 223.

Ответ: 223

В3

Найдите все числа вида , которые делились бы на 132.

Решение:

132 = 11 ∙ 4 ∙ 3

Так как число должно делиться на 4, то z может принимать значения 2 и 6.

1) Рассмотрим случай z = 2

Так как число делится на 11, то х + 9 – у – 2 = х – у + 7должно делится на 11.

Получаем пары чисел:

4 и 0; 5 и 1; 6 и 2; 7 и 3; 8 и 4; 9 и 5, 1 и 8, 2 и 9.

А так как число делится на 3, то сумма цифр должна делится на 3.

Значит, всем условиям удовлетворяют числа 4092, 7392.

2) Рассмотрим случай z = 6

Так как число делится на 11, то х + 9 – у – 6 = х – у + 3должно делится на 11.

Получаем пары чисел:

8 и 0; 9 и 1; 1 и 4; 2 и 5; 3 и 6; 4 и 7, 5 и 8, 6 и 9.

А так как число делится на 3, то сумма цифр должна делится на 3.

Значит, всем условиям удовлетворяют числа 3696, 6996.

Ответ: 3696, 4092, 6996, 7392.

Д3

Докажите, что не делится на , где a, b, c, d – различные цифры.

Решение:

Число делится на 11, а число делится на 11, если c = d, что невозможно по условию задачи.

В4

Известно, что 35! = 10333147966386144929¤66651337523200000000

Найдите цифру, замененную «¤».

Решение:

35! должно делиться на 9.

Рассмотри сумму цифр в числе 10333147966386144929¤66651337523200000000. Она равна 138 + ¤. Эта сумма делится на 9, если ¤ принимает значение 6.

Ответ: 6

Ж4

Докажите, что если (x + 5y + 3z) делится нацело на 11, то (5x + 14y + 4z) тоже делится нацело на 11.

Решение:

Так как число (x + 5y + 3z) делится на 11, то число 5(x + 5y + 3z) тоже делится на 11.

Найдем разность

5(x + 5y + 3z) — (5x + 14y + 4z) = 5х + 25у + 15z – 5х – 14у – 4z = 11у + 11z, делится на 11. Так как уменьшаемое и разность делится на 11, то и вычитаемое должно делиться на 11.

Д5

Сколько имеется четырехзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них – 97? Найдите эти числа.

Решение:

45 = 9 ∙ 5.

Так как число делится на 5, то оно может оканчиваться 0 или 5.

Если число оканчивается 0, то оно имеет вид . Чтобы это число делилось на 9, первая цифра должна быть равна 2. Получим число 2970.

Если число оканчивается 5, то оно имеет вид . Чтобы это число делилось на 9, первая цифра должна быть равна 6. Получим число 6975.

Ответ: 2970, 6975.

А6

Дано шестизначное число , причем делится на 7. Докажите, что и само число делится на 7.

Решение:

= 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f

= 100d + 10e + f – 100a – 10b – c

Составим разность между этими выражениями. Она будет равна

— () = 100100a + 10010b + 1001c

Число 1001 делится на 7, значит. 100100 и 10010 делятся на 7. Значит, мы получили, что вычитаемое и разность делятся на 7. Следовательно, уменьшаемое тоже должно делиться на 7.

Б6

Докажите, что число n⁵ — 5n ³ + 4n делится на 120 при любом натуральном n

Решение:

n⁵ — 5n ³ + 4n = n(n⁴ – 5n² + 4) = n(n⁴ – 4n² – n² +4) = n(n²(n² – 4) – (n² – 4)) = n(n² – 1)(n² – 4) = n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) – 5 последовательных натуральных чисел, среди которых одно делится на 5, одно делится на 3, одно на 4 и одно на 2. Значит, это число делится на 5∙ 4∙ 3∙ 2 = 120.

Д6

Обозначим сумму трех последовательных натуральных чисел через а, а сумму трех следующих за ними чисел – через b. Может ли произведение ab равняться 1111111111?

Решение:

Пусть а = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3, т.е. а делится на 3.

Тогда b = n + 4 + n + 5 + n + 6 = 3n + 15, т.е. b делится на 3. Значит, произведение ab делится на 9.

Но число 1111111111 не делится на 9, т.к. сумма цифр в числе равна 10.

Ж6

Докажите, что при любых натуральных m и n число10^m + 1 не делится нацело на число 10ⁿ – 1.

Решение:

Число 10ⁿ – 1 представляет собой n девяток. Значит, это число делится на 9.

10^m + 1 представляет собой число, состоящее из 2 единиц и (m-1) нулей. Сумма цифр в таком числе при любом m равна 2. Значит, это число на 9 не делится. Следовательно, число 10^m + 1 не может делиться нацело на число 10ⁿ – 1.

Подведение итогов

Подсчитываются очки, набранные каждой командой, и объявляется победитель.

Домашнее задание

— Ребята, на наших занятиях нам удалось решить лишь незначительную часть интересных задач, которые существуют по теме «Задачи на делимость». Поэтому нас ждет еще большое количество интересных занятий.

В качестве домашнего задания я хочу предложить вам решить следующую задачу

— Спасибо, ребята, за достойное участие в нашем сегодняшнем «бою»!