Конспект урока по Алгебре «Решение простейших иррациональных неравенств» 10 класс

– Вдумчиво прочитаем текст.
– Снова вернемся к вопросам, рассмотренным в начале урока, обсудим – правы ли мы были, а если нет, то в чем ошиблись.
– Сформулируем на основании прочитанного текста теоремы, применяемые при решении неравенств.

– Итак, на столах лежат карточки с вопросами. Все вопросы начинаются со слов «Верите ли Вы, что…». Если Вы согласны с утверждением, то справа от вопроса в первом столбце поставьте знак «+», если нет, то знак «–». Работаем в парах. Время работы 5 минут.

Содержание карточки:

После окончания работы учитель предлагает учащимся поделиться своим мнением с классом. (2 минуты). Учитель и ученик на равных позициях, никаких оценок, если учащийся желает, то может прокомментировать.

Заслушав ответы учащихся, учитель заполняет на доске первую строчку таблицы.

Стадия осмысления (10 минут)

Приложение 1

Текст для самостоятельного изучения

Решение неравенства не требует практи­чески ничего, кроме умения свести его к решению про­стейших неравенств, не допустив при этом ни потери, ни приобретения решений. Для этого надо знать свойства функций, изучаемых в школе, и владеть основными по­нятиями, связанными с равносильностью неравенств. Необходимо иметь в виду, что решение неравенств по сравнению с решением уравнений имеет свои осо­бенности: одни и те же преобразования в применении к уравнениям и неравенствам приводят к разным ре­зультатам. Например, при умножении обеих частей уравнения на некоторый отличный от нуля множитель, имеющий смысл в ОДЗ, уравнение заменится равно­сильным, а для неравенства указанных требований на множитель недостаточно — надо еще требовать, чтобы он был положителен в ОДЗ. Точно так же возведение обеих частей уравнения в квадрат не приводит к потере кор­ней, а то же самое преобразование неравенства может привести и к приобретению, и к потере решений. К со­жалению, большинство забывают об этих особенностях.

Как ни удивительно, но большое количество ошибок допускается при решении простейших неравенств. Это происходит, по-видимому, именно из формально понимаемой аналогии между уравнениями и неравенствам. В дальнейшем мы часто будем пользоваться следующим утверждением.

Теорема. Если и на некотором множестве значений х, то неравенства и равносильны на этом множестве.

Доказательство. Пусть х₀ — произвольное ре­шение первого неравенства из рассматриваемого мно­жества значений х. Если , то из неравенства на основании теоремы о возведении в сте­пень числовых неравенств, следует неравенство . Если же , то очевидно, что из неравенства f(x₀) > 0 вытекает, что . Тем самым доказано, что всякое решение неравенства является решением неравенства .

Совершенно аналогично доказывается и обратное, что всякое решение неравенства яв­ляется решением неравенства . Тем самым теорема доказана. Заметим, что в формулировке теоремы строгие не­равенства и можно заме­нить на нестрогие: и . До­казательство этого факта проводится аналогично.

При решении неравенств можно приобрести лишние решения, причем они приобретаются как за счет расширения ОДЗ, так и в случае, когда не учтены знаки обеих ча­стей неравенства.

Однако, в отличие от уравнений, при возведении в степень неравенства можно и потерять решения. Учащиеся же, основываясь на неправильно понимае­мой аналогии с уравнениями, часто считают, что этого не может быть. Покажем на примерах, как можно приобрести или потерять решения при возведении неравенства в сте­пень. Начнем с примера, в котором можно получить лишние решения за счет расширения ОДЗ.

1. Решить неравенство .

Некоторые учащиеся дали такое «решение»: «По­скольку правая и левая части этого неравенства неотрицательны, то неравенство можно возвести в квадрат и получить равносильное неравенство . Квадратный трехчлен в левой части этого неравенства не имеет действительных корней, а потому это нера­венство справедливо для всех действительных х. Сле­довательно, и исходное неравенство справедливо для всех х». Это рассуждение кажется грамотным, однако оно имеет существенный дефект.

Оно будет верным лишь в ОДЗ исходного неравенства.

Правильное решение должно быть таким: в ОДЗ обе части исходного неравенства неотрицательны; поэтому в ОДЗ оно равносильно неравенству , а значит, справедливо для всех х из ОДЗ. Теперь легко найти ОДЗ исходного неравенства, и тем самым полу­чить ответ:.

В следующем примере лишние решения получаются не за счет расширения ОДЗ, а вследствие возведения в степень без исследования знаков обеих частей нера­венства.

2. Решить неравенство: .

Вот пример рассуждения, при котором получаются лишние решения: «ОДЗ нашего неравенства: . Для любого х из ОДЗ справа стоит неотрицательное число, значит, слева стоит положительное число. По­этому после возведения в квадрат получим равносиль­ное неравенство , решения которого х > 1, а также х < —2. Учитывая ОДЗ исходного не­равенства, получаем ответ: х > 1, ».

На самом деле все х из промежутка не являются решениями исходного неравенства. Дело в том, что для х из ОДЗ правая часть неравенства дей­ствительно неотрицательна, зато левая при некоторых значениях х из ОДЗ — отрицательна. Ясно, что для этих х неравенство не выполняется, т. е. среди них нет решений нашего неравенства. И искать решения исход­ного неравенства надо среди тех х из ОДЗ, для кото­рых левая часть неравенства неотрицательна, т.е. среди . Вот для этих значений х обе части неравенства дей­ствительно неотрицательны, его можно возвести в ква­драт, получить неравенство , которое равносильно исходному на множестве . Теперь надо из решений неравенства выбрать те, которые будут удовлетворять условию . Они и будут давать решения исходного неравенства.

Это бу­дут х > 1.

Ошибка в приведенном выше рассуждении состоит в том, что произошла незаметная для учащегося подмена понятий. Действительно, для любого х, являю­щегося решением исходного неравенства, справа стоит неотрицательное число, а слева положительное число. Однако не все х из ОДЗ будут решениями исходного неравенства, а потому не для всех х из ОДЗ слева бу­дет положительное число. Учащийся слова «для лю­бого х, являющегося решением» заменил словами «для любого х из ОДЗ», и это привело его к ошибке.

3. Решить неравенство .

Если сразу возвести это неравенство в квадрат, то, даже учитывая ОДЗ, мы все равно потеряем решения. Действительно, ОДЗ этого неравенства . После возведения в квадрат получим неравенство , решением которого будут все х из промежутка —1 < х < 2. Некоторые учащиеся, убедившись, что все полученные х входят в ОДЗ, написали, что это и есть ответ. На самом же деле здесь потеряны ре­шения ; легко убедиться, что для любого числа из этого промежутка левая часть неравенства неотрицательна, а правая — отрицательна.

Правильное решение таково.

ОДЗ заданного неравенства состоит из всех . Левая часть его в ОДЗ неотрицательна, а правая мо­жет быть и положительной и отрицательной. Очевидно, что для тех х из ОДЗ, для которых правая часть отри­цательна, исходное неравенство будет справедливо. Зна­чит, все х из промежутка являются реше­ниями исходного неравенства.

Рассмотрим теперь значения . Для всех этих х обе части исходного неравенства неотрицательны, поэто­му неравенство можно вознести в квадрат и получить равносильное для всех неравенство . Решением последнего неравенства будут все х из промежутка

—1 < х < 2. Решением же исходного не­равенства в этом случае будут все х из промежутка .

Объединяя эти два случая, получаем, что решением исходного неравенства будут все значения х из проме­жутка .