Урок в 8 классе по алгебре с применением технологии критического мышления в процессе преподавания математики.
Тема: «Способы решения квадратного уравнения. Использование частных соотношений коэффициентов»
Учитель: Гусак Валентина Арсентьевна КГУ «Новосветловская средняя школа».
Цели: -расширить знания способов решения квадратных уравнений, повторить теорему Виета, изучить свойства коэффициентов;
-подготовить учащихся к выполнению теста;
-воспитывать коллективизм, поддержку в командах;
-развивать логическое мышление, быстроту, сообразительность;
-учить грамотной математической речи;
-формировать у учащихся умение прислушиваться к ответам своих товарищей,отстаивать свое решениеесли уверены вправильности ответа.
Оборудование и раздаточный материал: проектор, компьютер, карточки с заданиями и сигнальные карточки, стикеры, ватманы, магниты.
План урока:
| Время, мин | Приемы и методы | |
| 1. Этап актуализации знаний. 2. Мотивация учебной проблемы | 5 | Беседа учителя |
| 3. Основное содержание урока. Формирование и закрепление у учащихся представления о свойствах коэффициентов квадратного уравнения. 4. Проверка понимания материала темы. | 15
8 | Групповая работа. Изучение темы и составление постеров, вопросов высокого и низкого порядков. |
| 5. Закрепление изученного материала.Формирование умений и навыков. 6. Ассоциации. | 3
3 | Защита постеров. Ответы на вопросы |
| 7. Проверка усвоения знаний.
| 5 | Ранжирование по признакам, работа по карточкам. Проверка решений. |
| 8. Рефлексия | 3 | Пожелание. «Дартс». |
Ход урока
| Время | Деятельность учителя | Деятельность учащихся | Ресурсы | |||||||||||||||||||
| 3 | Встать в круг. Игра летает, не летает. На дворе весна, апрель месяц. Вернулись перелетные птицы. На столах лежат карточки, найдите какие перелетные птицы к нам прилетели, образуйте группы по 6 человек.(4 группы) | Формируют группы: скворцы, цапли, грачи, лебеди. | картинки с птицами журавли, ласточки, скворцы, цапли. | ||||||||||||||||||
— я знаю что коэффициенты обладают определенными свойствами — я могу применять данные свойства при решении уравнений -я могу объяснить товарищам в решении уравнений, как используются данные свойства. | 2 |
Сегодня мы расширим представление о способах решения квадратных уравнений, используя свойства коэффициентов. Сформулируем цели урока, чего вы должны достичь сегодня. | На кругах пишут способы решения квадратного уравнения: 1. Решение неполного квадратного уравнения 2. Выделения квадрата двучлена 3.С помощью формулы 4. Графически 5. С помощью теоремы Виета. 6. Используя формулы сокращенного умножения 7. По формуле с четным коэффициентом. 8. Другое.
| круги по колличеству групп. 8 по 4=32, магниты 10 шт. | ||||||||||||||||||
Формирование и закрепление представления о свойствах коэффициентов квадратного уравнения. | 5
10 | В восьмом классе, учащиеся знакомятся с квадратными уравнениями и способами их решения. При этом, как показывает опыт, большинство учащихся при решении полных квадратных уравнений применяют только один способ – формулу корней квадратного уравнения. Для учеников, хорошо владеющих навыками устного счета, этот способ явно нерационален. Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто и в старших классах, а там тратить время на расчет дискриминанта просто жалко. Тема «Свойства коэффициентов» в курсе алгебры рассматривается после изучения темы «Решение квадратного уравнения по формуле». | прием «Зигзаг». Каждый в группе получает ресурс, один из трех, пронумерованный 1,2,3. Каждый знакомится с материалом и формируются новые группы по 6 человек (с №1, с №2, с №3). на постерах «Зигзаг» (один из вариантов использования приемов). Класс разделен на четверки, у каждого школьника номер от 1 до 4. Дети работают с текстом, каждый сосредоточен на части с соответствующим номером, затем первые номера объединяются с первыми, вторые – со вторыми и т.д. для обсуждения своей части текста, составления схемы рассказа по теме и выбора представителя, который проведет итоговую презентацию. Вернувшись в свою группу, школьники по схеме рассказывают о своей части текста, слушают других, делают записи в тетрадях, затем эксперты от каждого номера проводят презентации своих тем, все остальные вносят уточнения и дополнения. | Ресурсы (№1,№2, №3) на 4 группы. | ||||||||||||||||||
| 8 | Группе «Цапля» предоставляется возможность защитить свой постер. Остальным участникам подготовить по два вопроса для осмысления и закрепления данной темы. | Защита постера и ответы на вопросы. Когда целесообразней изучать свойство коэффициентов, до или после изучения теоремы Виета?
| маркеры, 6 ватманов. | ||||||||||||||||||
| 3 | Найдите три признака, общих для данных свойств и три отличия. Какое слово созвучно со свойством, в котором несколько раз мы слышим и произносим «ца», дробь «це» на «а». Подумайте, на что похоже по произношению, выглядит единица как, произносится как…и это слово уже сегодня звучало в аудитории? В природе существуют несколько видов цапли. Есть белая цапля и серая цапля. Как вы думаете, какую цаплю можно соотнести к какому из свойств?
| Группы отвечают: 1. Используются все три коэффициента 2. К сумме (с+а)…. 3.Похожие формулы корней.
Диалогическая беседа. Обсуждение слайда.
| слайд «Цапля белая и серая» | ||||||||||||||||||
| 6. Ассоциации | 3 | Какое слово созвучно со свойством, в котором несколько раз мы слышим и произносим «ца», дробь «це» на «а». Подумайте, на что похоже по произношению, выглядит как, произносится как…«Цапля». Обсудите и назовите, что есть общего и в чем различия между белой и серой цаплей? Назовите по оному признаку и соотнесите с цаплями. |
|
| ||||||||||||||||||
| 7.Проверка усвоения знаний. | 5 |
| Выполните задание. Разложите в три колонки уравнения, решаемые по свойству «белой цапли», «серой цапли» и по формуле, через дискриминант. Назови корни уравнений. | ресурс 4. | ||||||||||||||||||
| 8. Рефлексия. | 3 | Подведем итог нашей работы в виде игры в «Дартс». На стикерах напишите 1 пожелание и 1 замечание и приклейте в один из секторов. | Пишут пожелания. | стикеры, плакат. | ||||||||||||||||||
РЕСУРС №1
Использование частных соотношений коэффициентов.
Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.
Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю
Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (), то корнями такого уравнения являются и отношение свободного члена к старшему коэффициенту .
Доказательство
Способ 1. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):
D=b2-4ac= (-(a+c))2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=a2-2ac+c2=(a-c)2
Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если , то уравнение имеет два корня, если же , то оно имеет только один корень. Найдём эти корни:
В частности, если а=с, то корень будет один: 1.
Отсюда, прежде, чем решать уравнение стандартными методами, следует проверить применимость к нему этой теоремы: сложить все коэффициенты данного уравнения и посмотреть, не равна ли нулю эта сумма.
РЕСУРС №2
Использование частных соотношений коэффициентов.
Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.
Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту
Если в квадратном уравнении сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: (речь идёт об уравнении с вещественными коэффициентами), то его корнями являются и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту.
Доказательство
Способ 2. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):
.
Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов , а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если , то уравнение имеет два корня, если же , то оно имеет только один корень. Найдём эти корни:
.
В частности, если , то корень будет один:
Отсюда, прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить возможность применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.
РЕСУРС №3
Использование частных соотношений коэффициентов.
Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.
Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.
-
Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),
то х1 = 1,
х2 =
Доказательство
Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение
x2 + x + = 0.
Согласно теореме Виета
x1•x2 = 1•
x1 + x2 = — .
-
Если же а – b + с = 0, откуда b = а + с, то:
х1 = -1,
х2 = —
Доказательство
Согласно теореме Виета
x1•x2 = — 1• ( — ),
x1 + x2 = — а + = -1 – .
т.е. х1 = -1 и х2 = — , что и требовалось доказать.