Павлюк Ирина Владиславовна
учитель математики
МБОУ гимназия №19 г. Липецка
Методическая разработка «Особые приёмы при решении трансцендентных неравенств методом интервалов»
Алгебра и начала анализа
11 класс
«ЗАМЕНА НА ЭКВИВАЛЕНТНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ» ПРИ РЕШЕНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ
Павлюк Ирина Владиславовна,
учитель математики МОУ гимназии №19 г. Липецка,
стаж работы 23 года, высшая квалификационная категория
Без сомнения, одна из основных задач учителя математики – развивать самостоятельное мышление учеников. Но приходиться признать тот факт, что даже усердные ученики часто не могут продвинуться дальше применения отработанных методов. Очевидно, что чем большем запасом наработанных «стандартных положений» владеет ученик, тем выше отодвигается его личная планка эвристического уровня.
Представляется полезным приведение в систему приёмов решения трансцендентных неравенств методом интервалов.
Методическая разработка
Тема урока б) .
К пункту 7:
№3 Функция определена, строго возрастает и отрицательна на всей числовой прямой. Найдите все значения х, удовлетворяющие неравенству
№4 Найдите все значения x при каждом из которых выполняется хотя бы одно из неравенств или
([2], Вариант5 С3)
-
Анализ домашней работы
На предыдущем уроке учащимся было предложено в домашней работе продумать возможные пути решения неравенств:
№1 (б)
Очевидно, что решения получаются громоздкими и следует поискать другой поход.
3. Актуализация знаний.
Заметим, что множители, входящие в левые части неравенств содержат выражения, соответствующие монотонным функциям (логарифмической и показательной). Вспомним определения возрастающей и убывающей функций.
Опр.1: Функция называется возрастающей, если для
и
имеет место
.
Опр.2: Функция называется убывающей, если для
и
имеет место
.
4. Решение неравенств из домашней работы новым способом.
№1 (а)
Выражение из неравенства
Соответствующая функция | Эквивалентное выражение | Условия | |||
f(t) | D(f) | монотонность | |||
убывающая | |||||
R | возрастающая | нет |
№1 (б)
Выражение из неравенства
Соответствующая функция | Эквивалентное выражение | Условия | |||
f(t) | D(f) | монотонность | |||
возрастающая | |||||
возрастающая | |||||
R | убывающая | нет |
№2 (а)
|
|
Отметив, что при :
, получим уравнение
Функция — убывающая с
, функция
— убывающая с
, функция
— возрастающая с
.
Заменив выражение на эквивалентное -(
, выражение
на эквивалентное
и выражение
на эквивалентное
, и учитывая Одз, получим равносильную систему:
Заметим, что для существования решения неравенства необходимо выполнение условия , то есть
. А при
:
и логарифмическая функция с соответствующим основанием возрастает на своей области определения.
Получим равносильную систему:
5. Самостоятельное (с обсуждением и корректировкой) решение неравенств.
№2 (а)
|
|
Отметив, что при :
, получим уравнение
Функция — убывающая с
, функция
— убывающая с
, функция
— возрастающая с
.
Заменив выражение на эквивалентное -(
, выражение
на эквивалентное
и выражение
на эквивалентное
, и учитывая Одз, получим равносильную систему:
Заметим, что для существования решения неравенства необходимо выполнение условия , то есть
. А при
:
и логарифмическая функция с соответствующим основанием возрастает на своей области определения.
Получим равносильную систему:
6. Решение задач с использованием рассматриваемого метода.
Так как по условию – возрастающая функция и
, то можем заменить
на эквивалентное
, а
+20
— на эквивалентное
+20
Кроме того по условию принимает только отрицательные значения, то
Получим неравенство, равносильное заданному:
Учитывая, что +17
при
, получим:
Так как — возрастающая функция с
, то получим равносильную систему:
№4
Рассмотрим неравенство (1). С учётом необходимого условия получим
, что равносильно совокупности
Рассмотрим неравенство (2).
7. Итоги урока и домашнее задание.
№5 Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству , при каждом из которых выполняется хотя бы одно из неравенств
,
. ([2], Вариант6 С3)
№6 Функция определена и строго убывает на всей числовой прямой. Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству
Программно-методическое обеспечение: Математика. ЕГЭ-2006. Вступительные экзамены. / Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. – Ростов на Дону: Легион, 2005. — [1],
Математика. ЕГЭ-2009. Часть II. Вступительные экзамены. / Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. – Ростов на Дону: Легион, 2009. — [2].
* Материал рассчитан на 2 часа (сдвоенный урок)