Особые приёмы при решении трансцендентных неравенств методом интервалов, 11 класс

К пункту 7:

№3 Функция _определена, строго возрастает и отрицательна на всей числовой прямой. Найдите все значения х, удовлетворяющие неравенству

_+20_. ([1], Вариант10 С3).

№4 Найдите все значения x при каждом из которых выполняется хотя бы одно из неравенств _ или _ ([2], Вариант5 С3)

2. Анализ домашней работы

На предыдущем уроке учащимся было предложено в домашней работе продумать возможные пути решения неравенств:

№1 а) _ б) _.

№1 (а) _{  }

№1 (б)

_{  }

Очевидно, что решения получаются громоздкими и следует поискать другой поход.

3. Актуализация знаний.

Заметим, что множители, входящие в левые части неравенств содержат выражения, соответствующие монотонным функциям (логарифмической и показательной). Вспомним определения возрастающей и убывающей функций.

Опр.1: Функция _ называется возрастающей, если для _ и _ имеет место _{  }.

Опр.2: Функция _ называется убывающей, если для _ и _ имеет место _{  }.

4. Решение неравенств из домашней работы новым способом.

№1 (а)

Выражение из неравенства

_{ }

Ответ. _;3]_

№1 (б)

Выражение из неравенства

_{    }

Ответ. _]_

№2 (а)

_

Одз: _{  } Итак, _.

Отметив, что при _: _, получим уравнение

_.

Функция _ — убывающая с _, функция _ — убывающая с _, функция _ — возрастающая с _.

Заменив выражение _ на эквивалентное -(_ , выражение _ на эквивалентное _ и выражение _ на эквивалентное _, и учитывая Одз, получим равносильную систему:

_{  }

Ответ. _

№2(б) _{ }

_.

Логарифмическая функция _ на _

Заметим, что для существования решения неравенства необходимо выполнение условия _, то есть _. А при _ : _ и логарифмическая функция с соответствующим основанием возрастает на своей области определения.

Получим равносильную систему:

_{  } Учитывая, что _ и _ получим _{ }

Ответ. _

5. Самостоятельное (с обсуждением и корректировкой) решение неравенств.

№2 (а)

_

Одз: _{  } Итак, _.

Отметив, что при _: _, получим уравнение

_.

Функция _ — убывающая с _, функция _ — убывающая с _, функция _ — возрастающая с _.

Заменив выражение _ на эквивалентное -(_ , выражение _ на эквивалентное _ и выражение _ на эквивалентное _, и учитывая Одз, получим равносильную систему:

_{  }

Ответ. _

№2(б) _{ }

_.

Логарифмическая функция _ на _

Заметим, что для существования решения неравенства необходимо выполнение условия _, то есть _. А при _ : _ и логарифмическая функция с соответствующим основанием возрастает на своей области определения.

Получим равносильную систему:

_ Учитывая, что _ и _ получим _{ }

Ответ. _

6. Решение задач с использованием рассматриваемого метода.

№3 _+20_.

Так как по условию _ – возрастающая функция и _, то можем заменить _ на эквивалентное _, а _+20_ — на эквивалентное _+20_

Кроме того по условию _ принимает только отрицательные значения, то _

Получим неравенство, равносильное заданному:

_+20_)_

_+17_.

Учитывая, что _+17_ при _, получим:

_; (_; _; _.

Так как _ — возрастающая функция с _, то получим равносильную систему: _{ }

Ответ. [_

№4

Рассмотрим неравенство (1). С учётом необходимого условия _ получим _, что равносильно совокупности

_{      }

_{   }

Рассмотрим неравенство (2).

_{      }

Итак, _{ }

Ответ. _

7. Итоги урока и домашнее задание.

№5 Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству _, при каждом из которых выполняется хотя бы одно из неравенств _ , _ . ([2], Вариант6 С3)

№6 Функция _ определена и строго убывает на всей числовой прямой. Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству

_. ([1], Вариант10 С3).

Программно-методическое обеспечение: Математика. ЕГЭ-2006. Вступительные экзамены. / Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. – Ростов на Дону: Легион, 2005. — [1],

Математика. ЕГЭ-2009. Часть II. Вступительные экзамены. / Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. – Ростов на Дону: Легион, 2009. — [2].