Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 33

с углубленным изучением отдельных предметов

Дзержинского района города Волгограда

Программа элективного курса по алгебре для 9 класса

Десятая проблема Гильберта, или уравнения Диофанта

Составитель:

Кулик Татьяна Анатольевна,

учитель математики

МОУ СОШ № 33

Волгоград, 2013

.

Продолжим этот процесс до тех пор, пока не придем к знаменателю q_п.

В результате мы представим обыкновенную дробь a/b в следующем виде: . Эйлер назвал дробь, стоящую в правой части равенства непрерывной. Приблизительно в то же время в Германии появился другой термин — цепная дробь. Так за этими дробями и сохранились оба названия. Ввиду громоздкости развернутой записи цепной дроби применяют компактную запись

a/b = [q₀; q₁, q₂, …, q_п].

Пример 1.

Представить рациональное число в виде цепной дроби.

Решение.

.

Очевидно, что любое рациональное число, и только оно, записывается в виде конечной цепной дроби. Иррациональным числам соответствуют бесконечные цепные дроби.

Если при построении цепной дроби остановиться на знаменателе q_k , то получится дробь [q₀; q₁, q₂, …, q_к], которую называют к-й подходящей дробью для искомой и обозначают Найдем вид некоторых подходящих дробей:

Для рационального числа a/b последовательность подходящих дробей конечна, и ее последний элемент Не Нетрудно заметить, что имеют место следующие рекуррентные соотношения:

(4)

2. Формулы для решения диофантовых уравнений с использованием цепной дроби

Вернемся к уравнению: ax + by = c (1). Напомним, что в нем a и b взаимно просты. Решение этого уравнения «способом цепной дроби» завершается применением готовых формул (доказательство которых можно найти в специальных пособиях), представляющих общее решение данного уравнения.

(5)

Решим этим способом диофантово уравнение.

Пример 2.

Решить уравнение 44х + 13у = 5.

Решение.

Так как , то n = 4. Составим «подходящие дроби».

Найдем P₃ и Q₃ используя формулы (4): P₃ = 10 + 7 = 17, Q₃ = 3 + 2 = 5.

Все готово к применению формул (5). Общее решение уравнения
будет иметь вид: х = –25 + 13t, y = 85 – 44t, где t — целое число.

После введения нового материала в конспекте-заготовке лекции необходимо выделить алгоритм решения диофантова уравнения с использованием цепной дроби. Этот алгоритм можно представить в следующем виде.

Для решения уравнения (1), где a, b, c — целые коэффициенты, способом цепной дроби нужно:

1. Представить дробь a/b в виде конечной цепной дроби.

2. Записать дробь a/b= [q_0; q_1,q_2, … ,q_n].

3. Составить таблицу для нахождения значений числителя и знаменателя подходящих дробей для полученной цепной дроби, последняя подходящая дробь .

Начальные условия	q0	q1	q2	…	qn
Pi	1	q0	q0 q1 + 1	(q0 q1+1) q2+ q0		a
Qi	0	1	q1	q2 q1 + 1		b

4. Найдем решение уравнения по следующим формулам:

Решим задачу № 7 из Приложения 1 способом цепной дроби. Для ответа на вопрос задачи требуется решить диофантово уравнение: 9х + 13у = 150.

Решение.

1. Представим дробь 9/13 в виде конечной цепной дроби.

.

2. Запишем дробь в виде цепной дроби 9/13 = [0; 1, 2, 4].

3. Составим таблицу

Начальные условия	q0 = 0	q1 = 1	q2 = 2	q3 = 4
Pi	1	0	1	2	9
Qi	0	1	1	3	13

4. Запишем общее решение уравнения:

Как и в решении способом с использованием алгоритма Евклида, мы получили такой же вид общего решения. А решение задачи выражается той же парой чисел: (8; 6).

3. Домашнее задание должно включать как вопросы по теоретическому материалу, так и практические задания.

Занятие 6. Решение диофантовых уравнений с использованием цепной дроби
План занятия

1. Актуализация знаний (проверка знания теории и выполнения практических заданий).

2. Решение задач с использованием цепной дроби.

3. Постановка домашнего задания.

Оборудование: опорные конспекты предыдущей лекции, карточки с заданиями для фронтальной и групповой работы.

Ход занятия

Основная цель занятия — овладение учащимися способом решения уравнений с использованием цепной дроби. Необходимо провести проверку усвоения теоретического материала: основных понятий, алгоритма решения. Целесообразно, чтобы формулы для решения уравнения были «перед глазами учащихся» в процессе проведения занятия. Можно записать их на доске, а также использовать заполненные опорные конспекты предыдущей лекции.

На занятии нужно рассмотреть задачи, для которых сразу ясна идея решения (№ 12(а, б), 13, 14 из Приложения 1), а также задачи, требующие обдумывания и смекалки (№ 15, 16 из Приложения 1). Задачи № 15, 16 можно предложить учащимся для решения в группах, а затем проверить решение фронтально. Можно до оформления решения обсудить его идею, наметив основные шаги, и предложить учащимся выполнить решение самостоятельно. Затем проверить полученный ответ. Часть из предлагаемых заданий можно дать на дом учащимся.

Рассмотрим решение задач № 15 и 16.

Задача № 15. Сколько можно купить на 100 монет петухов, кур и цыплят, если всего надо купить 100 птиц, причем петух стоит 5 монет, курица — 4, а 4 цыпленка — одну монету?

Решение.

Пусть x — искомое число петухов, у — кур, а 4z — цыплят. Составим систему уравнений, которую надо решить в целых неотрицательных числах.

Умножив первое уравнение системы на 4, а второе на (–1) и сложив результаты, придем к уравнению –x + 15z = 300 с целочисленными решениями x = –300 + 15t, z = t. Подставляя эти значения в первое уравнение, получим y = 400 – 19t. Значит, целочисленные решения системы имеют вид

x = –300 + 15t, y = 400 – 19t, z = t.

Из условия задачи вытекает, что

откуда , т. е. t = 20 или t = 21.

Ответ. На 100 монет можно купить 20 кур и 80 цыплят или 15 петухов, 1 курицу и 84 цыпленка.

Задача № 16. Крестьянка несла на базар корзину яиц. Неосторожный всадник, обгоняя женщину, задел корзину, и все яйца разбились. Желая возместить ущерб, он спросил у крестьянки, сколько яиц было в корзине. Она ответила, что число яиц не знает, но когда она раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5 и по 6, то каждый раз одно яйцо оставалось лишним,
а когда она разложила по 7, лишних яиц не осталось. Сколько яиц несла крестьянка на базар?

Решение.

Пусть x — число яиц. Так как (x – 1) делится на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, то оно делится на их НОК, равное 60. Значит, x имеет вид 60у + 1.

Поэтому для ответа на вопрос задачи надо решить в натуральных числах уравнение 60у + 1 = 7z или 7z – 60у = 1.

С помощью способа с использованием цепной дроби получаем, что целочисленные решения уравнения имеют вид у = –2 + 7t, z = –17 + 60t, где t — любое целое число.

Наименьшее положительное решение получаем при t = 1. В этом случае у = 5, z = 43. Итак, крестьянка несла на базар 301 яйцо.

Ответ. Крестьянка несла на базар 301 яйцо.

В домашнее задание обязательно включить повторение способов решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида
и цепной дроби, а также ряд задач, которые нужно решить этими способами.

Занятия 7-8. Метод рассеивания (измельчения) в решении диофантовых уравнений

План занятия

1. Проверка домашнего задания (форму проверки выбирает учитель,
   в данном случае можно провести самостоятельную работу на 10 мин по материалу предыдущих занятий).

2. Изучение нового материала. Способ измельчения коэффициентов как один из методов нахождения целых (натуральных) решений диофантовых уравнений.

3. Решение задач способом измельчения коэффициентов.

4. Постановка домашнего задания.

Оборудование: компьютер, проектор, слайды с заданиями, карточки
с заданиями.

Ход занятия

1. Проверка домашнего задания (в форме самостоятельной работы)

Решить уравнение двумя способами: с использованием алгоритма Евклида и цепной дроби:

1 вариант: 2x + 5y = 17. Ответ: (1; 3), (6; 1).

2 вариант: 5х + 8у = 39. Ответ: (3; 3)

Можно предложить учащимся текстовую задачу, сводимую к диофантову уравнению. Так как уравнение нужно решить двумя способами, то ученик имеет возможность контролировать себя сам, а как следствие — искать и устранять ошибки, если таковые имеются.

2. Изучение нового материала

На этом этапе необходимо ознакомить учащихся с методом рассеивания (измельчения) для решения диофантовых уравнений: разъяснить суть данного метода, привести некоторые исторические сведения, показать на примере использование данного метода для решения задач.

Способ рассеивания (размельчения) впервые применил в начале
VI века индийский математик Ариабхатта. Метод заключается в сведении данного уравнения к последовательности других уравнений с убывающими по абсолютной величине коэффициентами перед неизвестными.

Продемонстрируем его на примере решения следующей задачи.

Задача. Найти два числа, если разность произведений первого на 19
и второго на 8 равна 13.

Решение.

Требуется решить уравнение 19х – 8у = 13.

Перепишем его иначе: 8y =19x – 13; 8y = 16x + 3x – 13; у = 2х +

и обозначим y₁ = у – 2х.

В результате уравнение примет вид 8у₁ = 3x – 13 или x = 2y_1.

Если вновь произвести замену х₁ = x – 2у₁, то придем к уравнению
3x_l – 2у₁ = 13.

Заметим, что коэффициенты при неизвестных уменьшились — измельчились. Продолжим дальнейшее их уменьшение: так как y₁ = x_l +, то положим у₂ = у₁ –х₁.

В результате последнее уравнение преобразуется к виду х₁ – 2у₂ = 13. Здесь коэффициент при х₁, равен 1, а поэтому при любом целом у₂ = t число х₁ тоже целое.

Остается выразить исходные переменные через t: вначале выразим х₁ = 2t + 13, y₁ = 3t + 13; а затем x = 8t + 39, y = 19t + 91.

Итак, получаем бесконечную последовательность (39 + 8t, 91 + 19t) целочисленных решений.

Нетрудно заметить, что методы цепных дробей и рассеивания являются лишь другой формой применения алгоритма Евклида.

3. Решение задач способом измельчения коэффициентов

Для решения можно предложить учащимся как новые задания, так
и уже ранее решенные, но потребовать применить способ измельчения. Данный способ еще называют «методом спуска».

Задача № 18(а).

Решить способом измельчения в целых числах уравнение 5x + 8y = 39.

Решение:

1. Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент, и выразим его через другое неизвестное: x = (39 – 8y) : 5.

Выделим целую часть: x = 7 – y + (4 – 3y) : 5.

Все число будет целым, если целым окажется значение (4 – 3y) : 5.

Это возможно тогда, когда число (4 – 3y) без остатка делится на 5. Вводя дополнительную целочисленную переменную z, последнее уравнение запишем в виде: 4 – 3y = 5z.

Мы пришли к уравнению такого же типа, как и исходное уравнение, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его уже нужно относительно переменных y и z.

2. y = (4 – 5z) : 3 = 1 – z + (1 – 2z) : 3.

Аналогично рассуждая, запишем (1 – 2z) через новую целочисленную переменную и: 1 – 2z = 3u.

4. z = (1 – 3u) : 2 = (1 – u):2 – u; 1 – u = 2v.

3. u = 1 – 2v — дробей больше нет, спуск закончен.

5. Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом y и затем x.

z = (1 – u) : 2 – u = (1 – 1 + 2v) : 2 – 1 + 2v = 3v – 1,

z = 3v – 1.

y = (4 – 5z) : 3 = (4 – 5(3v – 1)) : 3 = 3 – 5v,

y = 3 – 5v.

x = (39 – 8y) : 5 = (39 – 8(3 – 5v)) : 5 = 3 + 8v,

x = 3 + 8v.

6. Формулы x = 3 + 8v, y = 3 – 5v представляют общее решение исходного уравнения в целых числах.

7. Если необходимо получить только натуральные числа, то среди всех целых решений нужно выбрать такие, для которых x > 0, y > 0, то есть 3 + 8v > 0, 3 – 5v > 0. Совместно эти неравенства могут выполняться лишь при v = 0. В этом случае x = 3, y = 3.

8. Ответ. (3; 3).

С учащимися можно рассмотреть и более сложные задания, решая их именно «методом спуска».

Задача № 19.

Решить в целых числах 29х + 13у + 56 z = 17. (1)

Выразим неизвестное, коэффициент при котором наименьший, через остальные неизвестные.

y = (17 – 29 х – 56 z) : 13 = (1 – 2x – 4z) + (4 – 3x – 4z) : 13. (2)

Обозначим (4 – 3x – 4z) : 13 = t₁. (3)

Из (2) следует, что t₁ может принимать только целые значения. Из (3) имеем 13t₁ + 3x + 4z = 4. (4)

Получим новое диофантово уравнение, но с меньшими, чем в (1) коэффициентами. Применим к (4) те же соображения:

x = (4 – 13t₁ – 4z) : 3 = (1 – 4t₁ – z) + (1 – t₁ – z) : 3;

(1 – t₁ – z) : 3 = t₂, t₂ — целое, 3t₂ + t₁ + z = 1. (5)

В (5) коэффициент при z — неизвестном исходного уравнения равен 1 — это конечный пункт «спуска». Теперь последовательно выражаем z, x, y через t₁ и t₂.

z = –t₁ – 3t₂ + 1,

x = 1 – 4t₁ + t₁ + 3t₂ – 1 + t₂ = –3t₁ + 4t₂,

y = 1 + 6t₁ – 8t₂ + 4t₁ + 12t₂ – 4 + t₁ = 11t₁ + 4t₂ – 3.

Итак, x = –3t₁ + 4t₂,

y = 11t₁ + 4t₂ – 3,

z = –t₁ – 3t₂ + 1.

t₁, t₂ — любые целые числа, определяющие все целые решения уравнения исходного уравнения.

Можно предложить учащимся найти частные решения данного уравнения и проверить их.

Например, пусть t₁ = 1, t₂ = 2. Имеем х = 5, у = 16, z = –6.

Подставим найденные решения в уравнение 29х + 13у + 56z = 17, получим 145 + 208 – 336 = 17;

353 – 336 = 17;

17 = 17.

В домашнее задание можно включить практические задания из Приложения 1 (или решенные ранее другими способами), в процессе решения которых будет усваиваться метод рассеивания (метод спуска). Целесообразно предложить учащимся составить задачу, сводимую к диофантову уравнению, и решить ее одним из изученных способов.

Также для подготовки к практическому занятию № 8, которое является занятием обобщения и систематизации изученного материала, учащимся необходимо повторить:

— понятие диофантова уравнения, линейного диофантова уравнения
с двумя переменными, условия существования целых решений уравнения;

— методы решения уравнения: способ перебора вариантов, с использованием алгоритма Евклида, с использованием цепной дроби.

Для повторения полезно использовать опорные конспекты лекционных занятий и конспекты практических занятий.

Занятия 9 — 10. Решение диофантовых уравнений разными способами

Данное практическое занятие является обобщающим занятием. Перед решением задачи необходимо повторить теоретический материал, опираясь на вопросы домашнего задания занятия № 7. Целесообразно суть выбранного способа решения задачи повторить непосредственно перед его применением к решению поставленной задачи. В целях самоконтроля за выполнением задания учащимся предлагается решить одну задачу разными способами и сравнить полученные ответы, поэтому условно данное занятие можно назвать «уроком одной задачи. Форма работы с учащимися — фронтальная. Но учащимся, которые достаточно хорошо усвоили материал, можно предложить нестандартные задания № 17, 23 из списка задач (Приложение 1).

Домашнее задание. Из Приложения 1 для домашней работы можно указать задания № 21, 22, а также предложить и задачи учеников, которые не были решены на занятии.

Учащимся необходимо напомнить, что следующее занятие — семинарское, назвать тех, кто будет на нем выступать, назначить день «последней» контрольной проверки выполненных учащимися индивидуальных и групповых заданий к семинару.

В целях эффективной работы на семинарском занятии, необходимо заранее подготовить соответствующее оборудование для демонстрации выполненных учащимися материалов с использованием информационных технологий, проверить совместимость электронных носителей учащихся с записанными презентациями выступлений и компьютера в классе и т. п.

Занятия 11—12. Решение задач с использованием различных диофантовых уравнений или их систем

Данные занятия относятся к категории практических.

Основная цель: рассмотреть вместе с учащимися задачи повышенной трудности на составление диофантовых уравнений или их систем, продемонстрировать различные способы их решения, в том числе и нестандартные.

Мы приведем решение некоторых задач из Приложения 1, которые можно разобрать как на занятии, так и предложить для самостоятельной работы учащимся.

Задача № 24. Решите в натуральных числах x² – 4xy – 5y² = 1 996.

Решение.

Перепишем уравнение в виде

(x² – 4ху + 4y²) – 9y² = 1 996, (х – 2у)² – 9y² = 1 996.

Разложим левую часть на множители (x – 5y)(x + у) = 1 996.

Разложим число 1996 на целые множители:

1 996 = 1 · 1 996 = 2 · 998 = 4 · 499 = –1 · (–1 996) = –2 · (–998) = –4 · (–499).

Так как x  N, y N, то (x + у)  N, причем (x + у) > 1.

Если (x + у) N и (x + у)(x – 5у) = 1 996, то (x – 5у)  N.

Тогда решение получившегося уравнения сводится к решению следующих систем:

1)

решений в натуральных числах нет

2) или

системы решений в натуральных числах не имеют

3) или

(832; 166) решения в натуральных числах нет.

Ответ. x = 832, у = 166.

Задача № 25. Докажите, что система уравнений

не имеет решений в целых числах.

Решение.

Предположим, что система разрешима. Из второго уравнения z² =2у² + 1, то есть z² — нечетное число и z — нечетное, значит z = 2m + 1, m  Z.

Тогда y² = 2m² + 2m, значит, y² — четное число и у — четное, y = 2n, n  Z.

Из первого уравнения: x² = 8n³ + 7, т. е. x² — нечетное число и x — нечетное число, х = 2k + 1, k  Z.

Подставим значения x и y в первое уравнение, получим

2(k² + k – 2n³) = 3, что невозможно, так как левая часть делится на 2, а правая нет.

Значит, наше предположение неверно, т. е. система не имеет решений в целых числах.

Задача № 26 (из «Арифметики» Диофанта)

Для числа 13 = 2² + 3² найти два других, сумма квадратов которых равна 13.

Решение.

Приведем решение самого Диофанта. Он полагает первое число (обозначим его через А) равным х + 2, а второе число B равным 2х – 3, указывая, что коэффициент перед x можно взять и другой.

Решая уравнение (x + 2)² + (2х – 3)² = 13, Диофант находит x = 1,6, откуда А = 3,6, В = 0,2.

Воспользуемся указанием Диофанта и возьмем произвольный коэффициент перед x в выражении для В. Пусть снова А = x + 2, а В = kx – 3, тогда из уравнения (x + 2)² + (kx – 3)² =13 получаем х = 2(3k – 2) : (k² + 1). Отсюда, A = 2(k² + 3k – 1) : (k² + 1), B = (3k² – 4k – 3) : (k² + 1).

Теперь становятся понятными рассуждения Диофанта. Он вводит очень удобную подстановку A = х + 2, В = 2х – 3, которая с учетом условия 2² + 3² = 13 позволяет понизить степень квадратного уравнения. Можно было бы с тем же успехом в качестве B взять (2х + 3) или еще проще
(x ± 3), но тогда получаются отрицательные значения для B, чего Диофант не допускал. Очевидно k = 2 — наименьшее натуральное число, при котором A и B положительны. И хотя Диофант приводит решение задачи в конкретных числах, чувствуется, что он владеет общим методом.

Задача № 27 (из древнего китайского сборника)

Найти число, которое при делении на 3 дает остаток 2, при делении на 5 — остаток 3, а при делении на 7 — остаток 2.

Решение.

Рассмотрим решение этой задачи китайским математиком Сунь-цзы (III или IV век): «При делении на 3 остаток есть 2. Поэтому возьмем 140. При делении на 5 остаток есть 3, поэтому возьмем 63. При делении на 7 остаток есть 2, поэтому возьмем 30. Сложив их вместе, получим 233. Из этого вычтем 210 и получим ответ».

Разберем решение Сунь-цзы. Сначала он подбирает число 140, кратное 5 и 7, которое при делении на 3 дает остаток 2. Конечно, это не наименьшее натуральное число с такими свойствами: можно было бы взять число 35. Но это не столь важно для решения задачи. Затем берется число 63, кратное 3 и 7, дающее при делении на 5 остаток 3. Аналогично находится число 30. Очевидно, для числа 233 = 140 + 63 + 30 выполняются все условия задачи, а потому они выполняются для числа вида n = 1 05l + 233. В свою очередь 233 = 2 · 105 + 23, поэтому все натуральные решения можно записать формулой n = 105k + 23, где k = 0, 1, …

При k = 0 из нее получаем наименьшее натуральное решение, равное 23.

Задача № 28 (из «Арифметики» Диофанта)

Найти два числа, произведение которых, сложенное с каждым из данных чисел, составит куб некоторого числа.

Решение.

Рассмотрим решение самого Диофанта. Обозначим первое число в виде произведения x на куб некоторого числа, например на 2³ = 8, то есть первое число будет 8x. Положим второе число равным x² – 1. Ясно, что одно из условий задачи будет выполнено: произведение искомых чисел, сложенное с первым, равняется кубу некоторого числа. В самом деле, проверяя это, получим:

8х · (x² – 1) + 8х = 8x³.

Далее надо, чтобы выполнялось и другое условие, то есть, чтобы произведение искомых чисел, сложенное со вторым, равнялось также кубу некоторого числа. Для этого требуется, чтобы 8x^·(x² – 1) + x² – 1 было кубом некоторого числа. Полагая, что куб этого числа равняется (2х – 1)³, мы получим уравнение, из которого можно найти x:

8х · (x² – 1) + x² – 1 = (2x – 1)³,

откуда:

x = 14/13, следовательно, первое число будет: 8 · 14/13 = 112/13, а второе число будет равно: (14/13)² – 1= 196/169 – 1= 27/169. Проверьте, удовлетворяют ли найденные числа условию задачи.

Задача № 29. «После кораблекрушения»

Пять моряков высадились на остров и к вечеру собрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, пересчитал добычу, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно 1/5 часть, после чего вновь лег спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях своих предшественников. Наутро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Сколько орехов собрали моряки?

Решение.

Обозначим искомое число орехов через х. Выражая последовательные действия моряков уравнениями, получаем x = 5а + 1; 4а = 5b + 1; 4b = 5c + 1;

4c = 5d + 1; 4d = 25y + 1 (обдумайте смысл предлагаемых уравнений).

Эта система сводится к одному неопределенному уравнению

256х = 2 101 + 15 625у.

Быстрое решение в целых числах этого громоздкого уравнения будет приятной наградой за терпеливое ознакомление с предложенными четырьмя способами — можно выбрать из них наиболее эффективный для данной задачи. Ответ в этой задаче таков: x = 3 121 — наименьшее из возможных натуральных значений х.

Замечание. В книге М. Гарднера «Математические головоломки и развлечения», в которой есть эта задача, написано, что она «принадлежит к числу наиболее часто решаемых, но наименее поддающихся решению, диофантовых головоломок». Когда эта задача в 1926 году появилась в одной газете (без решения и ответа), то 20 лет после этого не прекращался поток писем в газету либо с просьбой сообщить ответ, либо с вариантами собственных решений.

Заключение

Введение элективного курса «Десятая проблема Гильберта или уравнения Диофанта» необходимо учащимся как при подготовке к ГИА, ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в вузы. Владение различными приемами решения уравнений можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Решение задач и уравнений открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задания играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников. Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с помощью уравнений, успешно справляются и с другими задачами.

Приложение 1

Задачи

1. Найдите все пары натуральных чисел, которые являются решениями уравнения:

а) x + у = 11; б) 3х + 5у = 17.

2. Учащиеся 9 класса выполняли тест, содержащий задания по алгебре и геометрии. За каждый верный ответ на алгебраический вопрос выставлялось 3 балла, а на геометрический — 4 балла. Ученик верно ответил на все вопросы теста и получил 100 баллов. Сколько в тесте было заданий по алгебре и сколько по геометрии?

3. Ученики начальной школы на уроке математики выкладывают из палочек пятиугольники и шестиугольники. Всего в наборе 100 палочек. Сколько пятиугольников и сколько шестиугольников можно выложить, чтобы использованными оказались все палочки?

4. На неделю учащимся 9 класса было предложено для решения два списка задач: по алгебре и по геометрии. За каждую правильно решенную задачу по алгебре выставлялось 4 балла, а по геометрии — 5 баллов. Николай за выполненную им работу получил 80 баллов. Сколько задач по алгебре и сколько по геометрии решил Николай, если известно, что в каждом списке было 15 задач?

5.Из двух рублевых и пятирублевых монет составлена сумма в 23 р. Сколько среди этих монет двухрублевых?

6. Решить уравнение на множестве целых чисел:

а) 7х + 11у = 69; в) 5х + 29у = 39;

б) 3х + 17у = 143; г) 7х + 31у = 90.

7. Для газификации жилого дома требуется проложить газопровод длиной 150 м. Имеются трубы 13 м и 9 м длиной. Сколько требуется труб, чтобы не приходилось их разрезать при прокладке газопровода?

8. Туристическое бюро организует поездки на автомашинах двух типов: 23-местных автобусах и 6-местных автомобилях. Группа туристов состоит из 310 человек. Сколько машин того и другого типа следует выделить, чтобы не осталось свободных мест в салоне?

9. Транспортные организации имеют в наличие машины вместимостью 3,5 т и 4,5 т. Следует перевезти груз весом 53 т. Сколько машин нужно взять для одного рейса?

10. На 6 200 р. Школой было закуплено некоторое количество шахмат
и шашек, стоимостью соответственно 460 и 190 р. Сколько комплектов шахмат и шашек можно купить, чтобы рационально использовать эти деньги?

11. Школа получила 1 млн руб. на приобретение 100 единиц учебного оборудования (на всю сумму без остатка). Администрации школы предложили, оборудование стоимостью 3 000, 8 000 и 12 000 р. За единицу. Сколькими способами школа может закупить это оборудование? Укажите один из способов.

12. Представьте дробь в виде цепной дроби:

а) 7/11; б) 3/8; в) 9/5; г) 17/3.

13. Несколько лет назад были входу монеты по 3 и 5 к. Сколькими способами можно набрать ими сумму в 10 р.?

14. Надо разлить 15 л жидкости в бутыли емкостью в 0,5 и 0,8 л так, чтобы все использованные бутыли были полными. Сколько потребуется бутылей той и другой емкости?

15. Сколько можно купить на 100 монет петухов, кур и цыплят, если всего надо купить 100 птиц, причем петух стоит 5 монет, курица — 4, а 4 цыпленка — одну монету?

16. Крестьянка несла на базар корзину яиц. Неосторожный всадник, обгоняя женщину, задел корзину, и все яйца разбились. Желая возместить ущерб, он спросил у крестьянки, сколько яиц было в корзине. Она ответила, что число яиц не знает, но когда она раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5 и по6, то каждый раз одно яйцо оставалось лишним, а когда она разложила по 7, лишних яиц не осталось. Сколько яиц несла крестьянка на базар?

17. «Продажа кур» (старинная задача).

Три сестры пошли на рынок с курами. Одна принесла для продажи
10 кур, другая — 16, третья — 26. До полудня они продали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все трое вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 р. По какой цене они продавали кур до и после полудня?

18. Решить способом измельчения в целых числах уравнение:

19. а) 5х + 8у = 39; б) 7х + 11у = 43.

20. Решить в целых числах 29х + 13у + 56z = 17.

21. Шехерезада рассказывает свои сказки великому правителю. Всего она должна рассказать 1 001 сказку. Сколько ночей потребуется Шехерезаде, чтобы рассказать все свои, если x ночей она будет рассказывать по

3 сказки, а остальные сказки по 5 за у ночей?

22. Найти целые решения уравнения 10х + 21у = 23 каждым из изученных способов.

23. Найти двузначное число, у которого увосьмеренное число единиц на 13 меньше утроенного числа десятков.

24. Некоторое число экскурсантов, разместившихся поровну в 5 автобусах (каждый автобус вмещает не более 54 человек), были доставлены на вокзал. Там к ним присоединились еще 7 человек, и все экскурсанты распределились поровну в 14 вагонах. Сколько всего было экскурсантов?

25. Решите в натуральных числах x² – 4ху – 5y² = 1 996.

Литература

1. Бабинская, И. Л. Задачи математических олимпиад [Текст] / И. Л. Бабинская. — М. : Просвещение, 1975.

2. Башмакова, И. Г. Диофант и диофантовы уравнения [Текст] / И. Г. Башмакова. — М. : Наука, 1972.

3. Белл, Э. Т. Творцы математики: Предшественники современной математики [Текст] : пособие для учителей / Э. Т. Белл ; пер. с англ. В. Н. Тростникова, С. Н. Киро, Н. С. Киро / под ред. и с доп. С. Н. Киро. — М. : Просвещение, 1979.

4. Варпаховский, Ф. П. О решении десятой проблемы Гильберта [Текст] / Ф. П. Варпаховский, А. Н. Колмогоров // Квант. — 1970. — № 7.

5. Груденов, Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики [Текст] / Я. И. Груденов. — М. : Просвещение, 1990.

6. Дорофеев, Г. В. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс [Текст] : учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович [и др.] ; под ред. Г. В. Дорофеева. — М. : Дрофа, 2001.

7. Кордемский, Б. А. Этому виду задач более 1 600 лет [Текст] / Б. А. Кордемский // Квант. — 1973. — № 4. — С. 38—41.

8. Крафт, Х. Алгебраические кривые и диофантовы уравнения [Текст] / Х. Крафт // Живые числа : сб. ст. ; пер. с нем. — М. : Мир, 1986.

9. Перельман, Я. И. Занимательная алгебра [Текст] / Я. И. Перельман. — М. : Наука, 1976.

10. Фоминых, Ю. Ф. Диофантовы уравнения [Текст] / Ю. Ф. Фоминых // Математика в школе. — 1996. — № 6.

11. Чередов, М. М. Формы учебной работы в средней школе / М. М. Чередов. — М. : Просвещение, 1988.