ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ

УРОК-ЛЕКЦИЯ

ПО ТЕМЕ:

«Многочлены, действия над многочленами»

в 10 классе

Разработан учителем

математики Чумичевой Л.В.

Урок-лекция

Тема: Многочлены. Действия над многочленами.

Основная цель: Систематизировать сведения о многочленах. Познакомить учащихся с действиями, совершаемыми над многочленами.

Задачи: Выработать умение выполнять действия над многочленами. Дать знание алгоритма деления многочлена п-ой степени на двучлен (х-a) по схеме Горнера;совершенствовать вычислительную культуру учащихся.

Ход лекции

1. Опр. Многочленом от х называется выражение вида a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n, где a_0; a_1; …;a_n — некоторые числа, называющиеся коэффициентами, х — переменная, вместо которой можно подставить любое числовое значение.

Коэффициент a_n — называют свободным членом многочлена, коэффициент a₀ (a₀0) — называют старшим коэффициентом, а слагаемое a₀xⁿ — старшим членом, а сам многочлен называют многочленом n-ой степени.

Для сокращения записи многочлена используют функциональную символику.

Условимся, например, обозначать многочлен P_n(x)= a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n, (a₀0).

Опр. Значением многочлена при х=с называют число, которое получается, если

вместо х подставить число с и произвести указанные действия.

P_n(c)= a₀cⁿ+a₁c^n-1+…+a_n.

Например, P₃ = x³-2x²+3x-5 P₃(2)=1

Заметим, что при х=0 P_n(0)=a_n, то есть значение многочлена при х=0 равно

свободному члену.

А при х=1 P_n(1) = a₀+a₁+…+a_n. Таким образом, значение многочлена при х=1 равно сумме всех коэффициентов этого многочлена.

Пр.1 Найти сумму коэффициентов многочлена 1+(х²-6х+5)(х⁵+3х⁴-2х³+х²-х-

-7)³ +(х²-3х+1)²⁵(х³+5х+7)

F(1) = -12.

Обычно «многочленами» называют не только выражения вида P_n(x), но и выражения, приводимые к этому виду с помощью тождественных преобразований: раскрытия скобок, приведения подобных членов, перестановки слагаемых. В частности, если какой-нибудь из коэффициентов обращается в нуль, то соответственные слагаемые в записи многочлена просто опускаются.

Например, 7(x²-3x)+(x+1)³-5(2x²+1) = 7x²-21x+x³+3x²+3x+1-10x²-5 = x³+0x²-18x-4= = x³-18x-4.

Если коэффициенты многочлена равны нулю, то многочлен называют нулевым P_n(x) = 0

Это единственный многочлен, степень которого не определена.

Опр. Всякий отличный от нуля многочлен можно записать в виде Р_n(х)=

a₀xⁿ+…+a_n (то есть в порядке убывания степеней переменной х). Такую запись

называют канонической записью многочлена n-ой степени.

Опр. Два многочлена считаются равными, если их каноническая запись одинакова,

то есть степени этих многочленов равны и соответствующие коэффициенты равны.

Иными словами, если P_n(x) = a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n

Q_m(x)= b₀x^m+b₁x^m-1+…+b_m, то

P_n(x) = Q_m(x) 

Пр. 2 Найдите, при каких a,b и с выполняется равенство

Ответ. a=3; b=-7; c=4

Действия над многочленами.

1. Пусть даны два многочлена

P₃(x) = 2x³-x²-5x-2

P₂(x) = x²-x-2

Найти их сумму, разность и произведение.

P₃(x) + P₂(x) = 2x³-6x-4 = Q₃(x)

P₃(x) — P₂(x) = 2x³-2x²-4x = G₃(x)

P₃(x)P₂(x) = ( 2x³-x²-5x-2)( x²-x-2)

2x³-x²-5x-2

старший коэффициент = 2 свободный член = 4

1. Сумма, разность и произведение двух многочленов также является многочленом.

2. Степень многочлена Р(x) + Q(x) или P(x)-Q(x) не превосходит наибольшей из степеней многочленов P(x) и Q(x).

3. Степень многочлена P(x)Q(x) равна сумме степеней многочленов P(x) и Q(x), а старший коэффициент многочлена P(x)Q(x) равен произведению старших коэффициентов многочленов P(x) и Q(x).

2. Перейдем теперь к рассмотрению деления многочленов.

1) Опр. Пусть P(x) и Q(x) — два многочлена, причем многочлен Q(x) отличен от нуля. Если существует такой многочлен G(x), что P(x) =Q(x)G(x), то говорят, что многочлен P(x) делится на Q(x).

Например, P₃(x)=2x³—x²-5x-2

P₂(x)=x²—x-2

Разделим многочлен P₃(x) на многочлен P₂(x).

По определению, P₃(x) = P₂(x)G(x). Определим степень многочлена G(x). Какого вида будет многочлен G(x) ?

Отв: степень G(x) = 1; G(x) = ax+b.

Тогда 2x³—x²-5x-2 = (x²—x-2)(ax+b)

Найдем при каких а и b многочлены будут тождественно равны.

Значит, G(x) = 2х+1.

Этот метод деления называется методом неопределенных коэффициентов.

2. Многочлены можно делить друг на друга «уголком». Рассмотрим этот метод деления.

В
о множестве многочленов не всегда можно выполнить деление без остатка. Имеется более общая операция, называемая делением с остатком, которая всегда осуществима во множестве многочленов. Например,

Опр. Пусть Р(х) и Q(x) – два многочлена, причем многочлен Q(x) отличен от нуля. Если существуют такие многочлены G(x) и R(x), что выполнимо равенство Р(х)= Q(x) G(x)+ R(x), то говорится, что многочлен Р(х) делится на Q(x) с остатком. Многочлен G(x) называют частным, R(x) — остатком.

Задание. Найти частное и остаток при делении многочлена P₄(x) на двучлен Q(x)= = x—.

Вычисление коэффициентов b₁; b₂; b₃ и R можно записать в следующую схему

Используя данную схему, найдем коэффициенты частного и остаток при делении

на многочлен

При делении P₄(x) на двучлен Q(x) = x-1 имеем равенство P₄(x) = (x-1)G₃(x) + R.

Заметим, что при х=1 , P₄(1) = (1-1)G₃(x) + R

P₄(1) = R

Действительно, P₄(1) = 1+1+3+2+2 = 9

R=9

То есть, остаток от деления многочлена P₄(x) на двучлен (x-1) равен значению многочлена P₄(x) при x=1. R=P₄(1).

1. Схема Горнера

При делении многочлена P_n(x)= a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n, расположенного по

убывающим степеням x на двучлен (х-α) применяется метод сокращенного деления, называемого схемой Горнера.

Этот метод есть непосредственное следствие метода неопределенных коэффициентов. Заметим, что при делении P_n(x) степени n на двучлен (х-) в частном получается многочлен , степени (n-1), а в остатке число.

По методу неопределенных коэффициентов имеем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и в правой части равенства, находим

Вычисление коэффициентов частного Q_n-1(x) и остатка R проводится по следующей схеме

В этой схеме, начиная с коэффициента b_1, , каждое число третьей строки получается из предыдущего числа этой строки умножением на число  и прибавлением к полученному результату соответствующего числа первой строки, стоящего над искомым числом. Данная схема называется схемой Горнера.

При делении многочлена P_n(x) на (х-) имеем тождественное равенство

P_n(x) = (x—)Q_n-1(x) + R

если х=, то P_n() = R.

Итак, мы смогли найти остаток от деления многочлена на двучлен, не находя частного. То есть, имеет место следующая теорема.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P_n(x) на двучлен (х-) равен значению многочлена P_n(x) при х=, то есть R = P_n().

Пример: P₄(1) = 1 + 1 + 3 + 2 + 2 = 9.

Таким образом мы систематизировали сведения о многочленах, познакомились с действиями, совершаемыми над ними. А применение выше изложенных методов деления многочленов и теоремы Безу мы рассмотрим на последующих занятиях.